Question

（1）一元二次方程x²-2x+1=0的兩根是x₁=______，x₂=______；2x²-3x+1=0的兩根是x₁=______，x₂=______；6x²+7x+2=0的兩根是x₁=______，x₂=______．
（2）由（1）中一元二次方程的兩根，請你猜想：若一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個實數根x₁，x₂與系數a，b，c之間的關系是：x₁+x₂=______，x₁x₂=______．
（3）設一元二次方程2x²-5x+1=0的兩根分別為x₁，x₂，不解方程，利用（2）中的結論，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）第一個方程左邊利用完全平方公式分解因式，第二、三個方程利用十字相乘法分解因式，然后分別利用兩數相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到各自的解；
（2）求出每一個方程的兩根之和與兩根之積，歸納總結得到一元二次方程ax²+bx+c=0的兩根之和與兩根之積即可；
（3）找出方程中的a，b及c的值，利用第二問猜想的結論，求出x₁+x₂與x₁x₂的值，然后將所求式子通分并利用同分母分式的加法法則變形后，把x₁+x₂與x₁x₂的值代入即可求出值．
解答：解：（1）方程x²-2x+1=0，分解因式得：（x-1）²=0，
開方得：x-1=0，
解得：x₁=x₂=1；
方程2x²-3x+1=0，分解因式得：（2x-1）（x-1）=0，
可得：2x-1=0或x-1=0，
解得：x₁=1，x₂=；
方程6x²+7x+2=0，分解因式得：（3x+2）（2x+1）=0，
可得：3x+2=0或2x+1=0，
解得：x₁=-，x₂=-；
（2）方程x²-2x+1=0的x₁+x₂=2=-，x₁x₂=1=；
方程2x²-3x+1=0的x₁+x₂==-，x₁x₂=；
方程6x²+7x+2=0的x₁+x₂=-，x₁x₂==，
則一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個實數根x₁，x₂，
有x₁+x₂=-，x₁x₂=；
（3）∵x₁+x₂=-=，x₁x₂=，
∴==．
故答案為：（1）1，1；1，；，；（2），
點評：此題考查了根與系數的關系，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），當b²-4ac＜0時，方程無解；當b²-4ac≥0時，方程有解，當方程有解時，設方程兩解分別為x₁，x₂，則有x₁+x₂=-，x₁x₂=．