Question

如圖，已知△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AC=4，等邊△DEF的一邊在直角邊AC上移動，當點E與點C重合時，點D恰好落在AB邊上，
（1）求等邊△DEF的邊長；
（2）請你探索，在移動過程中，線段CE與圖中哪條線段始終保持相等，并說明理由；
（3）若設線段CE為x，在移動過程中，等邊△DEF與Rt△ABC兩圖形重疊部分的面積為y．請你寫出y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當E點與點C重合時，可證得△ADC是直角三角形，根據其邊角關系，即可得出；
（2）設CE的長為x，則AE=4-x，根據直角三角形的邊角關系，可得出EH、HD和DG的長，即可得出；
（3）首先求得△DHG的面積，然后，根據重疊部分的面積=等邊△DEF的面積-△DHG的面積，根據EF和AC的關系，可求出x的取值范圍；

解答：解：（1）當E點與點C重合時，點D恰好落在AB邊上，
∵∠DEA=60°，∠A=30°，
∴∠CDA=90°，
在Rt△ACD中，DC=

1

2

AC=2，
∴等邊△DEF的邊長是2．

（2）設CE的長為x，則AE=4-x，
∴在Rt△AHE中，EH=

1

2

AE=2-

1

2

x，
DH=2-EH=2-（2-

1

2

x）=

1

2

x，
∵∠A=30°，∠DFC=60°，
∴∠DGH=∠AGF=30°，
∴在Rt△GHD中，DG=2DH=x，
∴DG=CE．

（3）由（2）得DH=

1

2

x，則HG=

3

2

x，
∴S_△DHG=

3

8

x2，
又∵S_△DEF=

3

，
∴y=

3

-

3

8

x2（0≤x≤2）．

點評：本題主要考查了等邊三角形的性質和含30度角的直角三角形的性質，知道在直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半．