Question

【題目】如圖1，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且MN//PQ．和的平分線交于點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）過點(diǎn)作直線交于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），交于點(diǎn)E,

①若點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，如圖2，求證：；

②若點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，則線段、、有何數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不說理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

(1) 由平行線性質(zhì)可得∠NAB+∠ABQ=180°,再由角平分線定義可得,再利用三角形內(nèi)角和定理即可得∠C=90°,即可證明BC⊥AC;

(2) ①延長(zhǎng)AC交PQ點(diǎn)F，先證明AC=FC,再證明△ACD≌△FCE,即可得AD+BE=AB;

②方法與①相同．

解：（1）∵MN∥PQ

∴∠NAB+∠ABQ=180°

∵AC平分∠NAB，BC平分∠ABQ

∴

∴∠BAC+∠ABC==90°

在△ABC中，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°

∴∠C=180°- (∠BAC+∠ABC) =180°-90°=90°

∴BC⊥AC;

（2）①延長(zhǎng)AC交PQ于點(diǎn)F

∵BC⊥AC

∴∠ACB=∠FCB=90°

∵BC平分∠ABF

∴∠ABC=∠FBC

∴BC=BC

∴△ABC≌△FBC

∴AC=CF，AB=BF

∵MN∥BQ

∴∠DAC=∠EFC

∵∠ACD=∠FCE

∴△ACD≌△FCE

∴AD=EF

∴AB=BF=BE+EF=BE+AD

即：AB=AD+BE

②線段AD，BE，AB數(shù)量關(guān)系是：AD+AB=BE

如圖3，延長(zhǎng)AC交PQ點(diǎn)F,

∵MN//PQ ．

∴∠AFB=∠FAN，∠DAC=∠EFC

∵AC平分∠NAB

∴∠BAF=∠FAN

∴∠BAF=∠AFB

∴AB=FB

∵BC⊥AC

∴C是AF的中點(diǎn)

∴AC=FC

在△ACD與△FCE中

∴

∴AD=EF

∵AB=FB=BE-EF

∴AD+AB=BE