Question

【題目】已知如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，對角線AC，BD交于點0．點P從點A出發，沿AD方向向終點D勻速運動，速度為cm/s；同時，點Q從點D出發，沿DC方向向終點C勻速運動，速度為1cm/s；當一個點停止運動時，另一個點也停止運動．連接PO并延長，交BC于點E，過點Q作QF//AC，交BD于點F．設運動時間為t（s），解答下列問題：

（1）當t為何值時，△AOP是等腰三角形？

（2）設五邊形OECQF的面積為S（cm2），試確定S與t的函數關系式；

（3）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使S五邊形S五邊形OECQF：S△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；

Answer 1

【答案】(1) t=或t=5 (2) S= (3) t=3或t=

【解析】

（1），根據矩形的性質和勾股定理得到AC=10cm，①當AP=PO=t，過P作PM⊥AO，從而得到AM，證明△APM∽△ACD，根據相似三角形的性質得到AP=t的值，再根據題意直接得到第二種滿足題意的t值；

（2），過點O作OH⊥BC交BC于點H，根據矩形的性質證明△DOP≌△BOE，得到BE=PD=8-t，從而得到△BOE的面積；

根據FQ∥AC，證得△DFQ∽△DOC，由相似三角形的面積比可求得△DFQ的面積，從而可求五邊形OECQF的面積；

（3），由（2）可得五邊形OECQF的面積，根據S五邊形OECQF：S△ACD=9:16列方程，對方程進行求解即可得出結論.

（1）∵在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，

∴AC=10cm，

①當AP=PO=t，如圖1，

過P作PM⊥AO，

∴AM=AO=.

∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD，

∴△APM∽△ACD，

∴，

∴AP=t=；

②當AP=AO=t=5時，△AOP為等腰三角形.

綜上所述，當t為或5時，△AOP是等腰三角形.

（2）過點O作OH⊥BC交BC于點H，則OH=CD=AB=3cm．

由矩形的性質可知∠PDO=∠EBO，DO=BO，又得∠DOP=∠BOE，

∴△DOP≌△BOE，

∴BE=PD=8-t，

則S△BOE=BE·OH=×3×(8-t)=12-t.

∵FQ∥AC，

∴△DFQ∽△DOC，相似比為，

∴，

∵S△DOC=S矩形ABCD=×6×8=12，

∴S△DFQ==，

∴S五邊形OECQF=S△DBC-S△BOE-S△DFQ=

；

∴S與t的函數關系式為S=；

（3）存在.

∵S△ACD=×6×8=24，

∴S五邊形OECQF：S△ACD=():24=9:16，

解得t=3或t=，

∴t=3或時，S五邊形OECQF:S△ACD=9:16.