Question

【題目】我們在探究一元二次方程根與系數的關系中發現：如果關于x的方程x2+px+q＝0的兩個根是x1，x2，那么由求根公式可推出x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，請根據這一結論，解決下列問題：

（1）若α，p是方程x2﹣3x+1＝0的兩根，則α+β＝　 　，αβ＝　 　；若2，3是方程x2+mx+n＝0的兩根，則m＝　 　，n＝　 　；

（2）已知a，b滿足a2﹣5a+3＝0，b2﹣5b+3＝0，求的值；

（3）已知a，b，c滿足a+b+c＝0，abc＝5，求正整數c的最小值，

Answer 1

【答案】（1）3，1，－5，6；（2）或2；（3）3

【解析】

（1）根據根與系數的關系即可得到結論；
（2）根據α，b滿足a2-5a+3=0，b2-5b+3=0，得到α，b是方程x2-5x+3=0的解．當α≠b時，是方程a+b=5，ab=3，根據根與系數的關系即可得到結論；當α=b時，原式=2；
（3）根據a+b+c=0，abc=5，求得a+b=-c，ab= ，于是得到α，b是方程x2-=0的解，即可得到結論．

（1）α，p是方程x2-3x+1=0的兩根，則α+β=3，αβ=1；若2，3是方程x2+mx+n=0的兩根，則m=-5，n=6；
故答案為：3，1，-5，6；
（2）∵α，b滿足a2-5a+3=0，b2-5b+3=0，
∴α，b是方程x2-5x+3=0的解．
當α≠b時，是方程a+b=5，ab=3，
∴，
當α=b時，原式=2；
（3）∵a+b+c=0，abc=5，
∴a+b=-c，ab=，
∴α，b是方程x2-cx+=0的解，
∴c2-4×≥0，
∵c是正整數，
∴c3-20≥0，即c≥.
∴正整數c的最小值是3．

∴正整數c的最小值是3．