Question

【題目】如圖1，將一副直角三角板放在同一條直線AB上，其中∠ONM=30，∠OCD=45

（1）觀察猜想

將圖1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至圖②的位置，使得點O與點N重合，CD與MN相交于點E，則∠CEN= .

（2）操作探究

將圖1中的三角尺OCD繞點O按順時針方向旋轉，使一邊OD在∠MON的內部，如圖3，且OD恰好平分∠MON，CD與NM相交于點E，求∠CEN的度數；

（3）深化拓展

將圖1中的三角尺OCD繞點O按沿順時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，當邊OC旋轉 時，邊CD恰好與邊MN平行。（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】（1）105°；（2）150°；（3）75°或255°

【解析】

分析: （1）根據三角形的內角和定理可得∠CEN=180°-∠DCN-∠MNO，代入數據計算即可得解；

（2）根據角平分線的定義求出∠DON=45°，利用內錯角相等兩直線平行求出CD∥AB，再根據兩直線平行，同旁內角互補求解即可；

（3）①分CD在AB上方時，CD∥MN，設OM與CD相交于F，根據兩直線平行，同位角相等可得∠OFD=∠M=60°，然后根據三角形的內角和定理列式求出∠MOD，即可得解；CD在AB的下方時，CD∥MN，設直線OM與CD相交于F，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠DFO=∠M=60°，然后利用三角形的內角和定理求出∠DOF，再求出旋轉角即可；②分CD在OM的右邊時，設CD與AB相交于G，根據直角三角形兩銳角互余求出∠CGN，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠CON，再求出旋轉角即可，CD在OM的左邊時，設CD與AB相交于G，根據直角三角形兩銳角互余求出∠NGD，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式求出∠AOC，然后求出旋轉角，計算即可得解．

詳解:

（1）105°；

（2）∵OD平分∠MON，

∴∠DON=∠MPN=×90°=45°，

∴∠DON=∠D=45°，

∴CD∥AB，

∴∠CEN=180°﹣∠MNO=180°﹣30°=150°；

（3）75°或255°時，邊CD恰好與邊MN平行.