Question

如圖，已知拋物線C₁的頂點坐標是D（1，4），且經過點C（2，3），又與x軸交于點A、E（點A在點E左邊），與y軸交于點B．
（1）拋物線C₁的表達式是

y=-x²+2x+3

；
（2）四邊形ABDE的面積等于

9

；
（3）問：△AOB與△DBE相似嗎？并說明你的理由；
（4）設拋物線C₁的對稱軸與x軸交于點F．另一條拋物線C₂經過點E（C₂與C₁不重合），且頂點為M（a，b），對稱軸與x軸交于點G，并且以M、G、E為頂點的三角形與以點D、E、F為頂點的三角形全等，求a、b的值．（只需寫出結果，不必寫解答過程）．

Answer 1

分析：（1）根據圖象可得出A、B、C三點的坐標，然后用待定系數法即可求出拋物線的解析式．
（2）由于四邊形ABDE不是規則的四邊形，因此可過D作DF⊥x軸于F，將四邊形ABDE分成△AOB，梯形BOFD和△DOE三部分來求．
（3）可先根據坐標系中兩點間的距離公式，分別求出AB、BE、DE、BD的長，然后看兩三角形的線段是否對應成比例即可．
（4）要使兩三角形全等，那么兩直角三角形的兩直角邊應對應相等．
①當EF=EG=2，DF=MG=3，此時M點的坐標可能為（5，4），（5，-4），（1，-4）．
②當EF=MG=2，DF=EG=3，此時M點的坐標可能是（7，2），（7，-2），（-1，2），（-1，-2），綜上所述可得出a、b的值．

解答：解：（1）設c₁的解析式為y=ax²+bx+c，由圖象可知：c₁過A（-1，0），B（0，3），C（2，3）三點．

a-b+c=0 c=3 4a+2b+c=3

解得：

a=-1 b=2 c=3

∴拋物線c₁的解析式為y=-x²+2x+3．

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4．
∴拋物線c1的頂點D的坐標為（1，4）；
過D作DF⊥x軸于F，由圖象可知：OA=1，OB=3，OF=1，DF=4；
令y=0，則-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3
∴OE=3，則FE=2．
S_△ABO=

1

2

OA•OB=

1

2

×1×3=

3

2

；
S_△DFE=

1

2

DF•FE=

1

2

×4×2=4；
S_梯形BOFD=

1

2

（BO+DF）•OF=

7

2

．
∴S_{四邊形ABDE}=S_△AOB+S_梯形BOFD+S_△DFE=9（平方單位）．

（3）如圖，過B作BK⊥DF于K，則BK=OF=1．
DK=DF-OB=4-3=1．
∴BD=

DK2+BK2

=

2

，
又DE=

DF2+FE2

=2

5

；
AB=

10

，BE=3

2

；
在△ABO和△BDE中，
AO=1，BO=3，AB=

10

；
BD=

2

，BE=3

2

，DE=2

5

．
∵

AO

BD

=

BO

BE

=

AB

DE

=

1

2

∴△AOB∽△DBE．

（4）①當EF=EG=2，DF=MG=4，此時M點的坐標可能為（5，4），（5，-4），（1，-4）．
②當EF=MG=2，DF=EG=3，此時M點的坐標可能是（7，2），（7，-2），（-1，2），（-1，-2），
綜上所述可得出a、b的值．

a1=5 b1=4

，

a2=5 b2=-4

，

a3=7 b3=-2

，

a4=7 b4=2

，

a5=1 b5=-4

，

a6=-1 b6=2

，

a7=-1 b7=-2

．

點評：此題考查了待定系數法求二次函數解析式、三角形相似、圖形面積的求法等知識點，綜合性強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．