Question

如圖，三個等圓兩兩外切于點A﹑B﹑C，在圓弧AB﹑BC﹑CA所圍成的曲線區域內任取一點P，邊接PA﹑PB﹑PC，試問：以PA﹑PB﹑PC為邊長能否組成一個銳角三角形？證明你的結論．

Answer 1

分析：因為三個等圓兩兩外切，根據相切兩圓的性質可得：PA、PB、PC的邊長組成的三角形，又P在正三角形ABC的內部，再由等邊三角形的判斷定理和性質即可逐步證明．

解答：證明：以PA﹑PB﹑PC為邊長能組成一個銳角三角形，
證明如下：
連接O₁O₂、O₁O₃、O₂O₃，AB、BC、AC，易證△O₁O₂O₃，△ABC都是正三角形
把△APB繞點A旋轉60°至△ACPˊ，得△APPˊ是正三角形
PˊC=PB，PA=PPˊ
∴△PP′C就是以PA、PB、PC的邊長組成的三角形
記∠APB=α，∠BPC=β，∠APC=γ
∵P在正三角形ABC的內部
∴α＞60°，β＞60°，γ＞60°
又∵P在弧AB的外部，弧AB所含的圓周角為150°
∴α＜150°，同理β＜150°，γ＜150°
∵∠PPˊC=∠APˊC-60°=α-60°，∠CPPˊ=∠CPA-60°=γ-60°
∴∠PˊCP=180°-（α-60°）-（γ-60°）=300°-（α+γ）=β-60°，
∵60°＜α，β，γ＜150°
∴0°＜α-60°，β-60°，γ-60°＜90°
∴△PP′C為銳角三角形．

點評：本題主要考查了線切兩圓的性質及等邊三角形的判斷定理和性質，難度較大，關鍵是在做題前畫出正確的輔助線．