Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分別為D、E，AD與BE相交于點F．
（1）求證：△ACD∽△BFD；
（2）若∠ABD=45°，AC=3時，求BF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，∵AD⊥BC，BE⊥AC

∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°

∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°

∴∠DBF=∠DAC

∴△ACD∽△BFD

（2）解：如圖，∵∠ABD=45°，∠ADB=90°，

∴AD=BD，

∴ =1，

∵△ACD∽△BFD，AC=3，

∴ =1，

∴BF=AC=3．

【解析】（1）只要證明∠DBF=∠DAC，即可判斷．（2）利用相似三角形的性質即可解決問題．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定與性質的相關知識，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．