Question

當x＝2時，拋物線y＝ax²＋bx＋c取得最小值－1，并且拋物線與y軸交于點C（0，3），與x軸交于點A、B．

（1）求該拋物線的關系式；

（2）若點M（x，y₁），N（x＋1，y₂）都在該拋物線上，試比較y₁與y₂的大小；

（3）D是線段AC的中點，E為線段AC上一動點（A、C兩端點除外），過點E作y軸的平行線EF與拋物線交于點F．問：是否存在△DEF與△AOC相似？若存在，求出點E的坐標；若不存在，則說明理由．

 

Answer 1

解：（1）由題意可設拋物線的關系式為y＝a(x－2)²－1       

因為點C（0，3）在拋物線上

所以3＝a(0－2)²－1，即a＝1          

所以，拋物線的關系式為y＝(x－2)²－1＝x²－4 x＋3

（2）∵點M（x，y₁），N（x＋1，y₂）都在該拋物線上

∴y₁－y₂＝（x²－4 x＋3）－[(x＋1)²－4(x＋1)＋3]＝3－2 x

當3－2 x＞0，即時，y₁＞y₂        

當3－2 x＝0，即時，y₁＝y₂        

當3－2 x＜0，即時，y₁＜y₂        

（3）令y＝0，即x²－4 x＋3＝0，得點A（3,0），B（1,0），線段AC的中點為D（,）

直線AC的函數關系式為y＝－x＋3

因為△OAC是等腰直角三角形，所以，要使△DEF與△OAC相似，△DEF也必須是等腰直角三角形．由于EF∥OC，因此∠DEF＝45°，所以，在△DEF中只可能以點D、F為直角頂點．

①當F為直角頂點時，DF⊥EF，此時△DEF∽△ACO，DF所在直線為

由，解得，（舍去）

將代入y＝－x＋3，得點E（，）

②當D為直角頂點時，DF⊥AC，此時△DEF∽△OAC，由于點D為線段AC的中點，因此，DF所在直線過原點O，其關系式為y＝x．

解x²－4 x＋3＝x，得，（舍去）

將代入y＝－x＋3，得點E（，）      …………12分