Question

如圖，A、P、B、C是⊙O上的四點，∠APC=∠BPC=60°，AB與PC交于Q點．
（1）判斷△ABC的形狀，并證明你的結論；
（2）求證：；
（3）若∠ABP=15°，△ABC的面積為4，求PC的長．

Answer 1

（1）解：△ABC是等邊三角形．
證明：∵∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠BPC=60°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形；

（2）證明：如圖，過B作BD∥PA交PC于D，則∠BDP=∠APC=60°，
又∵∠AQP=∠BQD，
∴△AQP∽△BQD，
∴，
∵∠BPD=∠BDP=60°，
∴PB=BD，
∴；

（3）解：設正△ABC的高為h，則h=BC•sin60°．
∵BC•h=4，
即BC•BC•sin60°=4，
解得BC=4，
連接OB，OC，OP，作OE⊥BC于E，
由△ABC是正三角形知∠BOC=120°，從而得∠OCE=30°，
∴，
由∠ABP=15°得∠PBC=∠ABC+∠ABP=75°，
于是∠POC=2∠PBC=150°，
∴∠PCO=（180°-150°）÷2=15°，
如圖，作等腰直角△RMN，在直角邊RM上取點G，使∠GNM=15°，則∠RNG=30°，
作GH⊥RN，垂足為H．
設GH=1，則cos∠GNM=cos15°=．
在Rt△GHN中，
NH=GN•cos30°，GH=GN•sin30°，
∴RH=GH，MN=RN•sin45°，
∴cos15°=．
在圖中，作OF⊥PC于F，
∴PC=2CF=2OC•cos15°=．
分析：（1）由圓周角定理知，∠BAC=∠BPC=∠APC=∠BPC=60°，即可證明△ABC是等邊三角形；
（2）過B作BD∥PA交PC于D，證得△AQP∽△BQD，，再證PB=BD即可；
（3）通過作輔助線，構造等腰直角三角形求解．
點評：本題利用了圓周角定理，等邊三角形的判定和性質，銳角三角函數的概念，三角形的面積公式，等腰直角三角形的性質，通過作輔助線，構造相似三角形和等腰直角三角形求解，有很強的綜合性．