Question

如圖，正方形CGEF的對角線CE在正方形ABCD的邊BC的延長線上（CG＞BC），M是線段AE的中點，DM的延長線交CE于N．
（1）線段AD與NE相等嗎？請說明理由；
（2）探究：線段MD、MF的關系，并加以證明．

Answer 1

解：（1）AD=NE．理由如下：
根據題意，知AD∥BC．
∴∠EAD=∠AEN（內錯角相等），
∵∠DMA=∠NME（對頂角相等），
又∵M是線段AE的中點，
∴AM=ME．
∴△ADM≌△ENM（ASA）．
∴AD=NE（對應邊相等）．

（2）MD⊥MF，且MD=MF
證明：連接DF，FN，
由CE是正方形的對角線，得到∠DCF=∠NEF=45°，
根據上題可知線段AD=NE，
又∵四邊形CGEF是正方形，
∴FC=FE．
在△DCF和△NEF中，
，
∴△DCF≌△NEF（SAS）．
∴FD=FN，∠DFC=∠NFE，
∴△FDN是等腰三角形，
又∵∠CFN+∠EFN=90°，
∴∠DFC+∠CFN=90°，即∠DFN=90°，
∴△FDN為等腰直角三角形，
∵在題（1）中已證明△ADM≌△ENM，
∴DM=MN．
∴MD⊥MF．
分析：（1）根據已知條件證明△ADM≌△ENM，從而證明線段AD與線段NE相等．
（2）根據已知條件證明△DCF≌△NEF，證明出線段DF與線段FN相等，從而證出△FDN為等腰三角形，再根據題（1）中已證明△ADM≌△ENM，所以DM=MN．進而求出線段MD、MF的關系．
點評：解答本題的關鍵是利用正方形的性質和全等三角形的判定定理來判定三角形全等，再根據三角形全等的性質來解答問題．