Question

如圖，正方形CGEF的對角線CE在正方形ABCD的邊BC的延長線上（CG＞BC），M是線段AE的中點，DM的延長線交CE于N．
（1）求證：AD=NE
（2）求證：①DM=MF；②DM⊥MF．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是正方形，易得AD∥BC，∠BCD=90°，AD=CD，即可得∠MAD=∠MEN，又由M是線段AE的中點，利用ASA，即可判定△ADM≌△ENM，則可得AD=NE；
（2）首先連接FD、FN，易證得△CDF≌△ENF（SAS），即可證得△DFN是等腰直角三角形，又由△ADM≌△ENM，即可證得：①DM=MF；②DM⊥MF．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠BCD=90°，AD=CD，
∴∠MAD=∠MEN，
又∵M是AE的中點，
∴AM=EM
在△ADM和△ENM中，
∵

∠MAD=∠MEN AM=EM ∠AMD=∠EMN

，
∴△ADM≌△ENM（ASA），
∴AD=EN；

（2）證明：連接FD、FN，
∵CE是正方形CGEF的對角線，
∴CF=EF，∠1=∠FEN=45°，
又∵∠BCD=90°，
∴∠DCE=90°，
∴∠2=∠1=∠FEN=45°，
在△CDF和△ENF中，
∵

CD=EN ∠2=∠NEF CF=EF

，
∴△CDF≌△ENF（SAS）
∴∠3=∠4，DF=FN，
又∵∠CFN+∠4=90°，
∴∠CFN+∠3=90°，
∴△DFN是等腰直角三角形，
又∵△ADM≌△ENM，
∴DM=NM，
∴FM=DM，FM⊥DM．

點評：此題考查了正方形的性質、全等三角新的判定與性質以及等腰直角三角形的判定與性質等知識．此題綜合性較強，難度適中，注意數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．