Question

過邊長為1的正方形的中心O引兩條相互垂直的射線，分別與正方形的邊交于A，B兩點，則線段AB長的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：設A、B分別是正方形MNPQ的邊MN和NP上的點，根據正方形的性質可求得AB的長，因為邊長為1，從而不難求得其取值范圍．

解答：解：設A、B分別是正方形MNPQ的邊MN和NP上的點，
∵O是正方形MNPQ的中心，
∴OM=ON，∠OMN=∠ONM=45°，∠MON=90°，
∴∠AOM+∠AON=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠BON+∠AON=90°，
∴∠AOM=∠BON，
∴△AOM≌△BON（ASA），
∴OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB=

2

OA，
∵正方形MNPQ的邊長是1，
∴OM=

2

2

，O到MN的距離等于

1

2

（O到MN的垂線段的長度），
∴

1

2

≤OA≤

2

2

，
∴AB的取值范圍是：

2

2

≤AB≤1．
故答案為：

2

2

≤AB≤1．

點評：解決本題的關鍵是作出輔助線構造全等三角形．連接中心和相關的正方形頂點是常用的輔助線方法．