Question

2002年在北京召開的世界數學大會會標圖案是由四個全等的直角三角形圍成的一個大正方形，中間的陰影部分是一個小正方形的“趙爽弦圖”．若這四個全等的直角三角形有一個角為30°，頂點B₁、B₂、B₃、…、B_n和C₁、C₂、C₃、…、C_n分別在直線y=-

1

2

x+

3

+1和x軸上，則第n個陰影正方形的面積為

 

．

Answer 1

分析：根據陰影正方形的邊長與大正方形邊長有個對應關系，分別表示出每個陰影部分的面積，得出規律，即可得出第n個陰影正方形的面積．

解答：解：∵B₁點坐標設為（t，t），
∴t=-

1

2

t+

3

+1，
解得：t=

2

3

（

3

+1），
∴B₁N₁=

1

2

t=

1

3

（

3

+1），那么大正方形邊長為t，
陰影正方形邊長為

3

2

t-

1

2

t=

3 -1

2

×

2

3

（

3

+1）=

2

3

，
∴第1個陰影正方形的面積是（

2

3

）²，
∴每個相鄰正方形中多邊形，可以理解成是一系列的相似多邊形，相似比為2：3，
∴第2個陰影正方形的面積為：（

2

3

•

2

3

）²=（

2

3

）⁴，
第3個陰影正方形的面積為：（

2

3

•

2

3

•

2

3

）²=（

2

3

）⁶，
∴第n個陰影正方形的面積為：（

2

3

）²ⁿ，
故答案為：（

2

3

）²ⁿ．

點評：此題主要考查了勾股定理以及正方形的性質和一次函數的綜合應用，得出相似多邊形，相似比為2：3，進而得出正方形面積是解決問題的關鍵．