Question

如圖，三角形ABC的兩個頂點B、C在圓上，頂點A在圓外，AB、AC分別交圓于E、D兩點，連接EC、BD．
（1）求證：△ABD∽△ACE；
（2）若△BEC與△BDC的面積相等，試判定三角形ABC的形狀．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用圓周角定理得出∠EBD=∠ECD，再利用∠A=∠A，得出△ABD∽△ACE；
（2）根據△BEC與△BDC的面積相等，得出所以S_△ACE=S_△ABD，進而求出所以AB=AC，得出答案．
解答：（1）證明：∵弧ED所對的圓周角相等，
∴∠EBD=∠ECD，
又∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACE；

（2）解：連接DE，
方法1：因為S_△BEC=S_△BCD，
S_△ACE=S_△ABC-S_△BEC，S_△ABD=S_△ABC-S_△BCD，
所以S_△ACE=S_△ABD，
又由（1）知△ABD∽△ACE，
所以對應邊之比等于1，
所以AB=AC，即△ABC為等腰三角形；

方法2：因為△BEC與△BCD的面積相等，有公共底邊BC，所以高相等，
即E、D兩點到BC的距離相等，所以ED∥BC，
∴=，
∴∠ECB=∠DBC，
又因為∠EBD=∠ECD，
所以∠ABC=∠ACB，
即△ABC為等腰三角形．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質，利用三角形的面積關系得出△ABD與△ACE對應邊之比等于1是解題關鍵．