Question

如圖，已知△OAB的頂點A（-3，0）、B（0，1）O（0，0）．將△OAB繞點O按順時針旋轉90°得到△ODC，拋物線y=ax²+bx+c經過A、D、C三點．
（1）求拋物線的解析式，并寫出拋物線的頂點坐標；
（2）在給定的平面直角坐標中，畫出（1）中拋物線；
（3）將（1）中的拋物線沿y軸平移m（m＞0）個長度單位，使平移后拋物線的頂點落在直線y=-x上，試求出平移的方法和平移后的拋物線的解析式．

Answer 1

解：（1）∵A（-3，0）、B（0，1）、O（0，0），將△OAB繞點O按順時針旋轉90°得到△ODC，
∴D（0，3）、C（1，0），
∴設拋物線的解析式為：y=a（x+3）（x-1），
將（0，3）代入得出：3=a（0+3）×（-1），
解得：a=-1，
∴y=-（x+3）（x-1）=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴拋物線的頂點坐標為：（-1，4）；

（2）根據（1）中所求拋物線頂點坐標以及A，C，D點坐標，即可得出拋物線圖象，如圖所示：

（3）設拋物線平移后解析式為：y=-（x+1）²+4+m，
∴平移后頂點坐標為：（-1，4+m），代入y=-x得，m=-3，
∴將拋物線向下平移3個單位，
∴平移后解析式為：y=-（x+1）²+1．
分析：（1）根據旋轉的性質得出D，C點坐標，進而利用待定系數法求二次函數解析式解析式，進而利用配方法求出拋物線頂點坐標；
（2）利用（1）中所求得出拋物線圖象即可；
（3）利用平移的性質得出平移后解析式，進而得出其頂點坐標，再代入直線y=-x求出即可．
點評：此題主要考查了二次函數的平移以及圖形的旋轉以及配方法求二次函數頂點坐標等知識，正確記憶二次函數平移規律是解題關鍵．