Question

如圖，在直角梯形中OABC，已知B、C兩點的坐標分別為B（8，6）、C（10，0），動點M由原點O出發沿OB方向勻速運動，速度為1單位/秒；同時，線段DE由CB出發沿BA方向勻速運動，速度為1單位/秒，交OB于點N，連接DM．若沒運動時間為t（s）（0＜t＜8）．
（1）當t為何值時，以B、D、M為頂點的三角形△OAB與相似？
（2）設△DMN的面積為y，求y與t之間的函數關系式；
（3）連接ME，在上述運動過程中，五邊形MECBD的面積是否總為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先用t表示出BD、BM的長，由于△BDM、△AOB共用∠ABO，若以B、D、M為頂點的三角形△OAB與相似，則有兩種情況：①△BAO∽△BDM，②△BAO∽△BMD；可根據不同相似三角形所得的不同比例線段求出t的值．
（2）過M作MF⊥AB于F，易證得△BFM∽△BAO，即可根據相似三角形所得比例線段求得MF的長，進而可得到△BDM的面積表達式；由于∠BDN=∠OED=∠OCB，易證得△BDN∽△OBC，可求得△BOC的面積，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可得到△BDN的面積，然后分兩種情況討論：
①M點在線段ON上，此時0＜t≤5，△DMN的面積為△BDM的面積減去△BDN的面積，由此得到y、t的關系式；
②M點在線段BN上，此時5＜t＜8，△DMN的面積為△BDN的面積減去△BDM的面積，由此得到y、t的關系式．
（3）易求得OB=OC=10，即可知BM=OE=10-t，而BD=OM=t，且∠DBM=∠MOE，即可證得△BDM≌△OME，因此五邊形的面積可轉化為△OBC的面積，因此五邊形的面積是定值，以OC為底、OA為高，即可求得△OCB的面積，也就是這個定值的大小．

解答：解：（1）若△BAO∽△BDM，則

BA

BD

=

BO

BM

，（1分）
即

8

t

=

10

10-t

，解得t=

40

9

；（2分）
若△BAO∽△BMD，

BA

BM

=

BO

BD

，（3分）
即

8

10-t

=

10

t

，解得t=

50

9

；（4分）
所以當t=

40

9

或t=

50

9

時，以B，D，M為頂點的三角形與△OAB相似．

（2）過點M作MF⊥AB于F，則△BFM∽△BAO；
從而

MF

6

=

10-t

10

，所以MF=6-

3

5

t，（5分）
S_△BDM=

1

2

BD•MF=

1

2

t（6-

3

5

t），（6分）
△BDN∽△OBC，S_△OBC=

1

2

×10×6=30，

S△BDN

S△OBC

=（

t

10

）²，所以S_△BDN=

3

10

t²（7分）
①當0＜t≤5時，y=S_△DMN=S_△BDM-S_△BDN=

1

2

t（6-

3

5

t）-

3

10

t²=-

3

5

t²+3t；
②當5＜t＜8時，y=S_△DMN=S_△BDN-S_△BDM=

3

10

t²-

1

2

t（6-

3

5

t）=

3

5

t2-3t．（8分）

（3）在△BDM與△OME中，
BD=OM=t，∠MBD=∠EOM，BM=EO=10-t，
所以△BDM≌△OME；（9分）
從而五邊形MECBD的面積等于三角形OBC的面積，因此它是一個定值，
S_MECBD=30．（10分）

點評：此題考查的知識點有：直角梯形的性質、相似三角形及全等三角形的判定和性質、圖形面積的求法等知識，（2）題中一定要根據M、N的不同位置分類討論，以免漏解．