Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC為弦，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過點D的切線交AC的延長線于點E．

求證：（1）DE⊥AE；

（2）AE+CE=AB．

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】

（1）連接OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得出∠CAD=∠ODA，利用“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”可得出AE∥OD，結(jié)合切線的性質(zhì)即可證出DE⊥AE；

（2）過點D作DM⊥AB于點M，連接CD、DB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出DE=DM，結(jié)合AD=AD、∠AED=∠AMD=90°即可證出△DAE≌△DAM（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出AE=AM，由∠EAD=∠MAD可得出，進而可得出CD=BD，結(jié)合DE=DM可證出Rt△DEC≌Rt△DMB（HL），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出CE=BM，結(jié)合AB=AM+BM即可證出AE+CE=AB．

（1）連接OD，如圖1所示．

∵OA=OD，AD平分∠BAC，

∴∠OAD=∠ODA，∠CAD=∠OAD，

∴∠CAD=∠ODA，

∴AE∥OD．

∵DE是⊙O的切線，

∴∠ODE=90°，

∴OD⊥DE，

∴DE⊥AE．

（2）過點D作DM⊥AB于點M，連接CD、DB，如圖2所示．

∵AD平分∠BAC，DE⊥AE，DM⊥AB，

∴DE=DM．

在△DAE和△DAM中，，

∴△DAE≌△DAM（SAS），

∴AE=AM．

∵∠EAD=∠MAD，

∴ ，

∴CD=BD．

在Rt△DEC和Rt△DMB中，，

∴Rt△DEC≌Rt△DMB（HL），

∴CE=BM，

∴AE+CE=AM+BM=AB．