Question

“開發西部”是我國近幾年的一項重要的戰略決策．“攻堅”號筑路工程隊在西部某地區修路過程中需要沿AB方向開山筑隧道（如圖），為了加快施工進度，要在山的對面同時施工．因此，需要確定山對面的施工點．工程技術人員從AB上取一點C，測出以下數據：∠ACD的度數、CD的長度及∠D的度數．
（1）若∠ACD=135°，CD=500米，∠D=60°，試求開挖點E離開點D的距離（結果保留根號）；
（2）若∠ACD=α，CD=m米，∠D=β，試用α、β和m表示開挖點E離開點D的距離．（只需寫出結論．）

Answer 1

分析：（1）作EH⊥DC于點H，在△EHD中，∠EHD=90°，∠D=60°，設DH=x，則DE=2x，EH=

3

x，又在△EHC中，∠EHC=90°，∠ECD=180-∠ACD=45°，CH=EH=

3

x，列出等式，解出x、2x即可；
（2）根據題意，DE=

DH

cosβ

，DH=

EH

tanβ

，tg（180°-α）=

EH

HC

，HC=m-DH=m-cosβ•DE，所以，DE=

tg(180°-α)×(m-cosβ×DE)

cosβ×tanβ

，整理可得，ED=

tg(180°-α)•m

[tg(180°-α)+tanβ]•cosβ

．

解答：解：（1）作EH⊥DC于點H，
∴∠EHD=∠EHC=90°，
在△EHD中，∠EHD=90°，∠D=60°，
設DH=x，則DE=2x，EH=

3

x，
又在△EHC中，∠EHC=90°，∠ECD=180-∠ACD=45°，EH=

3

x，
∴CH=EH=

3

x，
∵CD=500，
∴

3

x+x=500，
∴x=250

3

-250，
∴ED=2x=500

3

-500．
∴開挖點E離開點D的距離為(500

3

-500)（米）．

（2）ED=

tg(180°-α)•m

[tg(180°-α)+tanβ]•cosβ

，
ED=

m

[1+ctg(180°-α)•tanβ]•cosβ

，
ED=

m•sin(180°-α)

sin(α-β)

，等等．

點評：本題主要考查了解直角三角形的應用和三角函數知識，掌握三角函數的表示方法及運算，關鍵把實際問題轉化為數學問題加以解決．