Question

【題目】在圖1，2，3中，已知□ABCD，∠ABC=120°，點E為線段BC上的動點，連接AE，以AE為邊向上作菱形AEFG，且∠EAG=120°．

（1）如圖1，當點E與點B重合時，∠CEF=______°；

（2）如圖2，連接AF．

①填空：∠FAD_______∠EAB（填“>”，“=”，“<”）；

②求證：點F在∠ABC的平分線上；

（3）如圖3，連接EG，DG，并延長DG交BA的延長線于點H，當四邊形AEGH是平行四邊形時，求的值．

Answer 1

【答案】（1）60；（2）①＝，②見解析；（3）3

【解析】

（1）根據菱形的性質計算即可；
（2）①證明∠DAB=∠FAE=60°，根據角的運算解答；
②作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延長線于N，證明△FAN≌△FME，根據全等三角形的性質得到FN=FM，根據角平分線的判定定理證明結論；
（3）根據直角三角形的性質得到GH=2AH，證明四邊形ABEH為菱形，根據菱形的性質計算，得到答案．

解：（1）當E與點B重合時，∠EAG=120°，∵四邊形GABF為菱形，

∴∠ABF=60°，∠CEF=120°-60°=60°

故答案為60°

（2）① ＝

∵四邊形GABF為菱形；∴AF平分∠GAE，∠FAE=120°÷2=60°

∠DAB=60°，∠FAD=60°-∠DAE；∠EAB=60°-∠DAE

∴∠FAD=∠EAB

②證明：過F點做AB和BC的垂線垂足分別為M，N

由①可得三角形AEF為等邊三角形

∠FAN=180°-60°-∠EAB=120°-∠EAB

∠FEM=60°+∠AEB=60°+（180°-120°-∠EAB）=120°-∠EAB

∴∠FAN=∠FEM

在FNA和FME中

∴△FNA≌△FME（AAS）

∴FN=FM，

∴F在∠ABC的角平分線上

（3）當四邊形AEGH為平行四邊形時，可得GE//BH；

由四邊形AEFG為菱形，可得GE平分∠FEA，∠GEA=30°

∴∠EAB=30°，AEB為等腰三角形；不妨設AB=x；可得AE=

∵AE=GH；AGH為等腰三角形∴AH==3x

∠DAB=60°，∠H=30°，∴HAD為等腰三角形，可得AD=3x

BC=AD=3x

∴