Question

【題目】如圖，在△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過點O作直線EF∥BC分別交∠ACB、外角∠ACD的平分線于點E、F．

（1）若CE=8，CF=6，求OC的長；

（2）連接AE、AF．問：當點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）當點O在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形．

【解析】

試題分析：（1）根據平行線的性質以及角平分線的性質得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，證出OE=OC=OF，∠ECF=90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案；

（2）根據平行四邊形的判定以及矩形的判定得出即可．

試題解析：（1）證明：∵EF交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F，∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，∴OE=OC，OF=OC，∴OE=OF；

∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°，∴∠ECF=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF= =10，∴OC=OE=EF=5；

（2）解：當點O在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形．理由如下：

連接AE、AF，如圖所示：

當O為AC的中點時，AO=CO，∵EO=FO，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵∠ECF=90°，∴平行四邊形AECF是矩形．