Question

如圖，BE是⊙O的直徑，點A在EB的延長線上，弦PD⊥BE，垂足為點C，連接OD，且∠AOD=∠APC．
（1）求證：AP為⊙O的切線；
（2）若OC：CB=1：2，且AB=9，求sinA的值及⊙O的半徑；
（3）若點F為上任意一點（點F不與P、E兩點重合），求證：△AFO∽△FCO．

Answer 1

（1）證明：連接OP；
∵OP=OD，∴∠OPD=∠D；
在Rt△OCD中，∠D+∠AOD=90°，
已知∠AOD=∠APC，
則∠OPD+∠APD=90°，即OP⊥AP；
又OP是⊙O的半徑，
所以AP是⊙O的切線．

（2）解：設OC=x，則BC=2x，OP=OB=3x；
在Rt△OPC中，OP=3x，OC=x，由勾股定理得：
PC²=OP²-OC²=8x²；
在Rt△OPC中，PC⊥OA，由射影定理得：
PC²=OC•AC，即8x²=x（2x+9），6x²=9x，
解得x=0（舍去），x=；
∴OP=OB=，OA=OB+AB=13；
∴⊙O的半徑為，sinA==．

（3）證明：Rt△AOP中，PC⊥OA，則有：
△OCP∽△OPA?；
∵OP=OB=OF，
∴；
又∵∠AOF=∠FOC，
∴△FOC∽△AOF．
分析：（1）連接OP，證OP⊥AP即可；可結合已知的等角和等腰三角形、直角三角形的性質進行證明．
（2）根據OC、BC的比例關系，可用未知數表示出OC、BC的表達式，進而可得OP、OB的表達式；在Rt△AOP中，PC⊥OA，根據射影定理得：PC²=PC•AC，PC²的表達式可在Rt△OPC中由勾股定理求得，由此求得未知數的知，從而確定OP、OA的長，也就能求出⊙O的半徑和sinA的值．
（3）此題需要通過相似三角形來間接的證明所求的結論；在Rt△OAP中，PC⊥OA，易得△OPC∽△OAP，即可得OP：OC=OA：OP，已知OP=OB=OF，通過等量代換，可證得夾∠AOF的兩組對應邊成比例，根據SAS即可證得所求的結論．
點評：此題主要考查了切線的判定、等腰三角形及直角三角形的性質、以及相似三角形的判定和性質等知識，難度適中．