Question

如圖，過線段AB的兩個端點作射線AM、BN，使AM∥BN，按下列要求畫圖并回答：
（1）畫∠MAB、∠NBA的平分線交于E，∠AEB是什么角？
（2）過點E作一直線交AM于D，交BN于C，觀察線段DE、CE，你有何發現？
（3）無論DC的兩端點在AM、BN如何移動，只要DC經過點E，AD+BC的值是否有變化？并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵AM∥BN，
∴∠MAB+∠ABN=180°，
又AE，BE分別為∠MAB、∠NBA的平分線，
∴∠1+∠3=（∠MAB+∠ABN）=90°，
∴∠AEB=180°-∠1-∠3=90°，
即∠AEB為直角；

（2）過E點作輔助線EF使其平行于AM，
∵AM∥BN，EF∥BC，
∴EF∥AD∥BC，
∴∠AEF=∠4，∠BEF=∠2，
∵∠3=∠4，∠1=∠2，
∴∠AEF=∠3，∠BEF=∠1，
∴AF=FE=FB，
∴F為AB的中點，又EF∥AD∥BC，
根據平行線等分線段定理得到E為DC中點，
∴ED=EC；

（3）由（2）中結論可知，無論DC的兩端點在AM、BN如何移動，只要DC經過點E，
總滿足EF為梯形ABCD中位線的條件，所以總有AD+BC=2EF=AB．
分析：（1）由兩直線平行同旁內角互補，及角平分線的性質不難得出∠1+∠3=90°，再由三角形內角和等于180°，即可得出∠AEB是直角的結論；
（2）過E點作輔助線EF使其平行于AM，由平行線的性質可得出各角之間的關系，進一步求出邊之間的關系；
（3）由（2）中得出的結論可知EF為梯形ABCD的中位線，可知無論DC的兩端點在AM、BN如何移動，只要DC經過點E，AD+BC的值總為一定值．
點評：本題是計算與作圖相結合的探索．對學生運用作圖工具的能力，以及運用直角三角形、等腰三角形性質，三角形內角和定理，及梯形中位線等基礎知識解決問題的能力都有較高的要求．