Question

如圖①，點A是直線y=kx（k＞0，且k為常數）上一動點，以A為頂點的拋物線y=（x-h）²+m交直線y=kx于另一點E，交y軸于點F，拋物線的對稱軸交x軸于點B，交直線EF于點C（點A、E、F兩兩不重合）．
（Ⅰ）寫出h與m之間的關系（用含k的代數式表示）；
（Ⅱ）當點A運動到使EF與x軸平行時（如圖②），求

AC

OF

的值；
（Ⅲ）當點A運動到使點F的位置最低時（如圖③），求

AC

OF

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于拋物線的頂點（h，m）在直線y=kx上，把頂點坐標代入解析式中即可得到h與m之間的關系；
（Ⅱ）當EF與x軸平行時，點E與點F關于拋物線的對稱軸對稱，根據軸對稱的性質得到FC=CE，然后利用CA∥y軸怎么△ECA∽△EFO，最后利用相似三角形的性質即可得到

AC

OF

的值；
（Ⅲ）當點F的位置處于最低時，其縱坐標h²+kh最小，而h2+kh=[h2+kh+(

1

2

k)2]-

1

4

k2=(h+

1

2

k)2-

1

4

k2，當h=-

1

2

k時，點F的位置最低，此時F（0，-

1

4

k2），然后解方程組

y=(x+ 1 2 k)2- 1 2 k2 y=kx.

得E的坐標（

1

2

k，

1

2

k2），同時確定A的坐標（-

1

2

k，-

1

2

k2），然后利用待定系數法可以確定直線EF的解析式，最后把x=-

1

2

k代入直線EF的解析式中確定即點C的坐標，最后分別可以求出線段AC的長度，OF的長度解決問題．

解答：解：（Ⅰ）∵拋物線的頂點（h，m）在直線y=kx上，
∴m=kh；

（Ⅱ）當EF與x軸平行時，點E與點F關于拋物線的對稱軸對稱，
∴FC=CE．
∵CA∥y軸，
∴△ECA∽△EFO．
∴

AC

OF

=

EC

EF

=

1

2

；

（Ⅲ）當點F的位置處于最低時，其縱坐標h²+kh最小，（5分）
∵h2+kh=[h2+kh+(

1

2

k)2]-

1

4

k2=(h+

1

2

k)2-

1

4

k2，
當h=-

1

2

k時，點F的位置最低，此時F（0，-

1

4

k2）．（6分）
解方程組

y=(x+ 1 2 k)2- 1 2 k2 y=kx.

，
得E（

1

2

k，

1

2

k2），A（-

1

2

k，-

1

2

k2）．（7分）
設直線EF的解析式為y=px+q，
將點E（

1

2

k，

1

2

k2），F（0，-

1

4

k2）的橫縱坐標分別代入，
得

1 2 k2= 1 2 kp+q - 1 4 k2=q

．（8分）
解得

p= 3 2 k q=- 1 4 k2.

∴直線EF的解析式為y=

3

2

kx-

1

4

k2．（9分）
當x=-

1

2

k時，y=-k²，
即點C的坐標為（-

1

2

k，-k²），
∵點A（-

1

2

k，-

1

2

k2），
∴AC=

1

2

k2，
而OF=

1

4

k2，
∴

AC

OF

=

1 2 k2

1 4 k2

=2．（10分）

點評：本題考查的是二次函數的綜合題型，其中涉及的知識點有拋物線的平移、函數圖象的交點坐標與其解析式的組成的方程組的解的關系及相似三角形的性質與判定，綜合性比較強，對學生的能力要求比較高，平時加強訓練．