Question

【題目】如圖，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，則下列結論：①AB+AD=2AE；②∠DAB+∠DCB=180°；③CD=CB；④S△ACE﹣2S△BCE=S△ADC；其中正確結論的個數是（　　）

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

①在AE取點F，使EF=BE．利用已知條件AB=AD+2BE，可得AD=AF，進而證出2AE=AB+AD；
②在AB上取點F，使BE=EF，連接CF．先由SAS證明△ACD≌△ACF，得出∠ADC=∠AFC；再根據線段垂直平分線、等腰三角形的性質得出∠CFB=∠B；然后由鄰補角定義及四邊形的內角和定理得出∠DAB+∠DCB=180°；
③根據全等三角形的對應邊相等得出CD=CF，根據線段垂直平分線的性質得出CF=CB，從而CD=CB；
④由于△CEF≌△CEB，△ACD≌△ACF，根據全等三角形的面積相等易證S△ACE-S△BCE=S△ADC．

解：①在AE取點F，使EF=BE，

∵AB=AD+2BE=AF+EF+BE，EF=BE，
∴AB=AD+2BE=AF+2BE，
∴AD=AF，
∴AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2（AF+EF）=2AE，
∴AE=（AB+AD），故①正確；
②在AB上取點F，使BE=EF，連接CF．
在△ACD與△ACF中，∵AD=AF，∠DAC=∠FAC，AC=AC，
∴△ACD≌△ACF，
∴∠ADC=∠AFC．
∵CE垂直平分BF，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠B．
又∵∠AFC+∠CFB=180°，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠DAB+∠DCB=360-（∠ADC+∠B）=180°，故②正確；
③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD=CF，
又∵CF=CB，
∴CD=CB，故③正確；
④易證△CEF≌△CEB，
所以S△ACE-S△BCE=S△ACE-S△FCE=S△ACF，
又∵△ACD≌△ACF，
∴S△ACF=S△ADC，
∴S△ACE-S△BCE=S△ADC，故④錯誤；
即正確的有3個，
故選：C．