Question

如圖，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，經過點C且與邊AB相切的動圓與CB，CA分別相交于點E，F，則線段EF長度的最小值是（ ）

A．
B．4.75
C．5
D．4.8

Answer 1

【答案】分析：設EF的中點為O，圓O與AB的切點為D，連接OD，連接CO，CD，則有OD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形OC+OD=EF，由三角形的三邊關系知，CO+OD＞CD；只有當點O在CD上時，OC+OD=EF有最小值為CD的長，即當點O在直角三角形ABC的斜邊AB的高上CD時，EF=CD有最小值，由直角三角形的面積公式知，此時CD=BC•AC÷AB=4.8．
解答：解：如圖，∵∠ACB=90°，
∴EF是直徑，
設EF的中點為O，圓O與AB的切點為D，連接OD，CO，CD，則OD⊥AB．
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴∠ACB=90°，
∴EF為直徑，OC+OD=EF，
∴CO+OD＞CD，
∵當點O在直角三角形ABC的斜邊AB的高上CD時，EF=CD有最小值
∴由三角形面積公式得：CD=BC•AC÷AB=4.8．
故選D．
點評：本題利用了切線的性質，勾股定理的逆定理，三角形的三邊關系，直角三角形的面積公式求解．