Question

如圖，在一塊正方形ABCD木板上要貼三種不同的墻紙，正方形EFCG部分貼A型墻紙，△ABE部分貼B型墻紙，其余部分貼C型墻紙．A型、B型、C型三種墻紙的單價分別為每平方60元、80元、40元．
探究1：如果木板邊長為2米，FC=1米，則一塊木板用墻紙的費用需______元；
探究2：如果木板邊長為1米，求一塊木板需用墻紙的最省費用；
探究3：設木板的邊長為a（a為整數），當正方形EFCG的邊長為多少時？墻紙費用最省；如要用這樣的多塊木板貼一堵墻（7×3平方米）進行裝飾，要求每塊木板A型的墻紙不超過1平方米，且盡量不浪費材料，則需要這樣的木板______塊．

Answer 1

【答案】分析：（1）CF=1，BC=2，得到BF=1，然后分別計算出S_△ABE=•2•1=1，S_{正方形EFCG}=1，S_空白=4-1-1=2，再乘以它們的單價即可得到一塊木板用墻紙的費用；
（2）設FC=xm，則BF=（1-x）m，總費用為y元，再計算S_△ABE=•（1-x）•1=（1-x），S_{正方形EFCG}=x²，S_空白=1-（1-x）-x²=-x²+x+，然后乘以它們的單價即可得到一塊木板用墻紙的費用，最后利用二次函數的最值問題求出
當x=時，y_最小=55元．
（3）同（2）一樣，設FC=xm，則BF=（a-x）m，總費用為y元，得到y=20x²-20ax+60a²，當x=a時，y有最小值，即墻紙費用最省；當x≤1，則a≤1，得a≤2，而a為整數，得到a=1或2，然后比較費用，最后得到需要這樣的木塊21塊．
解答：解：（1）∵CF=1，BC=2，
∴BF=1，
∴S_△ABE=•2•1=1，S_{正方形EFCG}=1，S_空白=4-1-1=2，
∴一塊木板用墻紙的費用需=1×60+1×80+2×40=220（元）；
故答案為220．

（2）設FC=xm，則BF=（1-x）m，總費用為y元，
∴S_△ABE=•（1-x）•1=（1-x），S_{正方形EFCG}=x²，S_空白=1-（1-x）-x²=-x²+x+，
∴y=（1-x）×80+x²•60+（-x²+x+）•40
=20x²-20x+60 
=20（x-）²+55，
當x=時，y_最小=55元．
所以這塊木板需用墻紙的最省費用為55元；

（3）設FC=xm，則BF=（a-x）m，總費用為y元，
∴S_△ABE=•（a-x）•a=（a²-ax），S_{正方形EFCG}=x²，S_空白=a²-（a²-ax）-x²=-x²+ax+a²，
∴y=（a²-ax）×80+x²•60+（-x²+ax+a²）•40
=20x²-20ax+60a²
∴當x=a時，y有最小值，即墻紙費用最省；
當x≤1，則a≤1，得a≤2，而a為正整數，得到a=1或2，
當a=1，費用為21×55=1155；當a=2，費用為6×220=1320，
所以a=1，用21塊．
故答案為21．
點評：本題考查了二次函數的應用：根據實際問題列出二次函數關系式，然后利用二次函數的性質，特別是二次函數的最值問題解決實際中的最大或最小值問題．