Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，
（1）在線段AB上是否存在一點P，使以P、A、D為頂點的三角形與以P、B、C為頂點的三角形相似？若不存在，說明理由；若存在，請確定點P的位置．
（2）在直線AB上是否存在一點P，使△PDC為直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，請確定點P的位置．

Answer 1

【答案】分析：（1）題中沒有指明具體的對應頂點，故應該分情況進行分析；
（2）假設存在一點P，使△PDC為直角三角形．題中沒有指明具體的直角及P點的活動范圍，故應該分情況進行分析．
解答：解：（1）①當△PAD∽△PBC時，
AP：PB=AD：BC，
∵AB=AP+PB=7，AD=2，BC=3，
∴AP=；
②當△ADP∽△BPC時，
AP：BC=AD：BP，
∵AB=AP+PB=7，AD=2，BC=3，
∴PA=1或PA=6；
綜合①②P點距離A點有三個位置：PA=；PA=1或PA=6；

（2）
存在．過點D作DE⊥BC于點E，則
DE=AB=7，
EC=BC-AD=3-2=1，
∴CD=5；
①當P在線段AB上，且∠DPC=90°時，
PD²+PC²=CD²，
∵△ADP∽△BPC，
∴AP：BC=AD：BP，
∵AP+PB=AB=7，AD=2，BC=3，
∴=
∴PA=1或PA=6；
②當P在線段AB上，且∠PDC=90°時，
PD²+DC²=CP²，
∵PD²=AD²+AP²，PC²=PB²+BC²，AP+PB=AB=7，
∴PA=；
③當P在線段AB的延長線上，且∠PDC=90°時，
PD²+DC²=CP²，
∵PD²=AD²+AP²，PC²=PB²+BC²，AP=PB+AB，
∴PB=-（舍去）；
④當P在線段AB的延長線上，且∠DPC=90°時，
PD²+PC²=CD²，
∵PD²=AD²+AP²，PC²=PB²+BC²，AP=PB+AB，
∴PA=．（舍去）
綜合①②③④，在直線AB上存在一點P，使△PDC為直角三角形，它據A點的距離是：PA=1或PA=6；PA=．
點評：解答本題時需注意：找對相似三角形的對應角與對應邊．