Question

如圖1，點A在y軸的正半軸上，以OA為邊作等邊三角形AOC．
（1）點B是x軸正半軸上的一個動點，如圖1當點B移動到點D的位置時，連接AD，請你在第一象限內確定點E，使△ADE是等邊三角形（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）．
（2）在（1）的條件下，在點B的運動過程中，∠ACE的大小是否發生變化？若不變，求出其度數；若變化，請說明理由．
（3）如圖2，把你在（1）中所作的正△ADE繞點A逆時針旋轉，使點E落在y軸的正半軸上E′的位置，得到正△AE′D′，連接CE′、OD′交于點F．現在給出兩個結論：①AF平分∠CAD′；②FA平分∠OFE′，其中有且只有一個結論是正確的，請你判斷哪個結論是正確的，并進行證明．

Answer 1

分析：（1）分別以A和D為圓心，AD為半徑畫弧，取在第一象限的交點E，連接AE、DE即可；
（2）根據等邊三角形性質得出AD=AE，AO=AC，∠OAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD=60°，推出∠OAD=∠CAE，根據SAS證△ACE≌△AOD，推出∠ACE=∠AOD即可；
（3）②FA平分∠OFE′是正確的，根據等邊三角形性質推出△CAE′≌△OAD′，推出AN=AM，根據角平分線性質推出即可；根據等腰三角形的性質推出∠FAE′≠∠FAO，根據等邊三角形性質推出∠E′AD′=∠CAO，即可推出①是錯誤的．

解答：（1）解：如下圖：分別以A和D為圓心，AD為半徑畫弧，取在第一象限的交點E，連接AE、DE，則三角形ADE是所求的等邊三角形．
（2）∠ACE的大小不發生變化，總等于90°，
理由：
根據題意，有AD=AE，AO=AC，
∠OAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD=60°，
∴∠OAD=∠CAE，
在△ACE和△AOD中

AE=AD ∠EAC=∠OAD AO=AC

，
∴△ACE≌△AOD（SAS）
∴∠ACE=∠AOD=90°，
即∠ACE的大小不發生變化，總等于90°．

（3）解：第二個結論②FA平分∠OFE′是正確的，
理由是：過A分別作AM⊥OD′于M，AN⊥CE′于N，
在△OAD′和△CAE′中

AE′=AD′ ∠E′AC=∠D′AO AO=AC

，
∵△OAD′≌△CAE′（SAS），
∴CE′=OD′，
∴AM=AN（全等三角形的對應邊上的高相等），
∵AN⊥CE′，AM⊥OD′，
∴∠AFN=∠AFM，
即FA平分∠OFE，∴②正確；
∵FE和OF不相等，
∴∠FAE不一定等于∠FAO，
∵∠EAD′=∠CAO=60°，
∴∠D′AF不一定等于∠FAC，
∴①錯誤；
即只有②正確．

點評：本題考查了對等邊三角形的性質，坐標與圖形性質，角平分線定義，作圖-復雜圖形，旋轉性質，全等三角形的性質和判定等知識點的應用，此題綜合性比較強，有一點難度，主要培養學生分析問題和解決問題的能力．