Question

如圖，△ABC和△ADC是兩個邊長相等的等邊三角形，點E從點B出發沿BA方向運動到點A停止，同時點F以相同的速度從點 A出發，沿AD方向運動到點D停止．連接EC、FC．
（1）在點E、F運動過程中∠ECF的大小是否隨之變化？請說明理由；
（2）在點E、F運動過程中，以點A、E、C、F為頂點的四邊形的面積變化了嗎？請說明理由．
（3）若點E、F在射線BA、射線AD上繼續運動下去，（1）小題中的結論還成立嗎？（直接寫出結論，不必說明理由）

Answer 1

分析：（1）由于BE=AF，BC=AC，且∠B、∠CAF都是60°，可證得△BCE≌△ACF，即可得∠BCE=∠ACF，因此∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°，因此∠ECF的度數是定值，不會改變．
（2）由（1）的全等三角形知：△ACF、△BCE的面積相等，因此四邊形AECF的面積可轉化為△ABC的面積，因此當E、F分別在線段AB、AD上運動時，四邊形AECF的面積不變．
（3）由于當E、F分別在BA、AD延長線上時，（1）的全等三角形依然成立，因此（1）的結論是成立的．

解答：解：（1）∵E、F的速度相同，且同時運動，
∴BE=AF，
又∵BC=AC，∠B=∠CAF=60°，
在△BCE和△ACF中，

BE=AF ∠B=∠CAF=60° BC=AC

∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴∠BCE=∠ACF，
因此∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°，
所以∠ECF=∠BCA=60°．

（2）答：沒有變化．
證明：由（1）知：△BCE、△ACF的面積相等；
故：S_{四邊形AECF}=S_△AFC+S_△AEC=S_△AEC+S_△BEC=S_△ABC；
因此四邊形AECF的面積沒有變化．

（3）回答（1）中結論成立．
由于當E、F分別在BA、AD的延長線上時，（1）的全等三角形仍然成立，故（1）的結論也成立．

點評：此題主要考查了等邊三角形的性質以及全等三角形的判定和性質，難度適中，有利于培養同學們鉆研和探索問題的精神．