Question

如圖1，拋物線C₁：y=x²+bx+c的頂點為A，與y軸的負半軸交于B點．
（1）求拋物線C₁的解析式及B點的坐標；
（2）如圖2，將拋物線C₁向下平移與直線AB相交于C、D兩點，若BC+AD=AB，求平移后的拋物線C₂的解析式；
（3）如圖3在（2）中，設拋物線C₂與y軸交于G點，頂點為E，EF⊥x軸于F點，M（m，0）是x軸上一動點，N是線段EF上一點，若∠MNG=90°，請你分析實數m的變化范圍．

Answer 1

解：（1）由題意得：-=1，=-，其中a=1，
解得：b=-2，c=-，
∴拋物線C₁的解析式：y=x²-2x-；
令x=0，y=-，
∴B點的坐標為（0，-）；

（2）過A、B兩點分別作x軸、y軸的垂線，交于H點，過C、D兩點分別作x軸、y軸的垂線，交于Q點，
∵BC+AD=AB，∴CD=2AB，
∵AH=BH=1，∴CQ=DQ=2．
設直線AB解析式為：y=kx+b，
由（1）中A，B兩點坐標得出：
，
解得：，
則直線AB的解析式為：y=-x-，
設C（m，），則D（m+2，），
設拋物線C₂的解析式為y=x²-2x+t，
∵C、D兩點在拋物線C₂上，
則有：
解得：，
∴拋物線C₂的解析式為y=x²-2x-3；

（3）由（2）有OF=1，FE=4，OG=3，∴∠GEF=45°，
當M點在F點的右邊時，
作EM⊥GE交x軸于M點，
則∠FEM=45°，
∴FM=EF=4，
∴OM=5，
∴m≤5；
當M點在F點的左邊時，作GH⊥EF于H點，
∵∠MNG=90°，
則△MNF∽△NGH，
∴，
設FN=n，則NH=3-n，
∴，得：n²-3n-m+1=0，
∴△=（-3）²-4（-m+1）≥0，
解得：．
∴m的變化范圍是．
分析：（1）根據二次函數的頂點坐標為（-，），然后代入即可求出b和c的值，令x=0，求出此時的y，即是點B的縱坐標；
（2）過A、B兩點分別作x軸、y軸的垂線，交于H點，過C、D兩點分別作x軸、y軸的垂線，交于Q點，由（1）有直線AB的解析式為：y=-x-，設C（m，-m-），則D（m+2，-m-），代入拋物線C₂的解析式為y=x²-2x+t，求出即可；
（3）當M點在F點的右邊時，作EM⊥GE交x軸于M點，當M點在F點的左邊時，作GH⊥EF于H點，則△MNF∽△NGH，利用相似三角形的性質以及一元二次方程根的判別式得出m的取值范圍．
點評：本題考查了二次函數的綜合運用以及相似三角形的判定與性質，根據已知結合圖象進行分類討論得出是解題關鍵．