Question

已知：如圖1，拋物線C₁：y=

1

3

(x-m)2+n（m＞0）的頂點為A，與y軸相交于點B，拋物線C₂：y=-

1

3

(x+m)2-n的頂點為C，并與y軸相交于點D，其中點A、B、C、D中的任意三點都不在同一條直線
（1）判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由；
（2）如圖2，若拋物線y=

1

3

(x-m)2+n （m＞0）的頂點A落在x軸上時，四邊形ABCD恰好是正方形，請你確定m，n的值；
（3）是否存在m，n的值，使四邊形ABCD是鄰邊之比為1：

3

 的矩形？若存在，請求出m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題目條件可以表示出A（m，n ），C（-m，-n ），可以求得AO=CO，當x=時可以求出點B、D的坐標，從而可以證明BO=DO，CO從而得出結論．
（2）∵拋物線y=

1

3

(x-m)2+n （m＞0）的頂點A落在x軸上，可以得出n=0，由四邊形ABCD恰好是正方形，由正方形的性質就可以得出OA=OB而建立等量關系求出其m的值．
（3）∵四邊形ABCD是矩形，由矩形的性質可以得出OA=OB從而建立一個等量關系，由矩形ABCD的鄰邊之比為1：

3

，可以得出，∠ABO=60°或∠ABO=30°，作AH⊥BD，表示出BH，用OB=BH+OH在建立一個等式，從而構成方程組，從兩種情況求出方程組的解就可以了．

解答：解：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，
∵A（m，n ），C（-m，-n ），
∴點A與點C關于原點對稱．
∴點O、A、C三點在同一條直線上，
∴OA=OC．
∵B(0，

1

3

m2+n)，D(0，-

1

3

m2-n)，
∴OB=OD．
∴四邊形ABCD是平行四邊形．

（2）∵拋物線y=

1

3

(x-m)2+n(m＞0)的頂點A落在x軸上，
∴n=0．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OB，即

1

3

m2=m，
解得：m₁=0（不符題意，舍去），m₂=3．
此時四邊形ABCD是正方形
∴m=3，n=0．

（3）若四邊形ABCD是矩形，
則OA=OB，即(

1

3

m2+n)2=m2+n2，
化簡得：

1

9

m4+

2

3

m2n=m2
∵m＞0，
∴m²+6n=9
又∵矩形的鄰邊之比為1：

3

，
當AB：AD=1：

3

時，∠ABO=60°，
過點A作AH⊥BD于H，則BH=

3

3

m，
∴

3

3

m+n=

1

3

m2+n，
∴

m2+6n=9 3 3 m+n= 1 3 m2+n

，
解得：

m= 3 n=1

當AD：AB=1：

3

時，∠ABO=30°，
過點A作AH⊥BD于H，則BH=

3

m，
∴

m2+6n=9 3 m+n= 1 3 m2 +n

，
解得：

m=3 3 n=-3

．
答：存在m=

3

，n=1或m=3

3

，n=-3使四邊形ABCD是鄰邊之比為1：

3

的矩形．

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了平行四邊形的判定，正方形的性質的運用，矩形的性質的運用及三角函數值的運用．