Question

如圖，已知在等腰直角三角形中，， 平分，與相交于點，延長到，使，
（1）求證：；

（2）延長交于，且，求證：；

（3）在⑵的條件下，若是邊的中點，連結與相交于點．
試探索，,之間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

（1）∵，
又∵；
∴，--------------------------3分
（2）∴，∴
又∵平分，∴
又∵，∴，
又∵
∴，∴
∴----------------------------- 7分
（3），,之間的數量關系為：
連結CG，∵，H是邊的中點，
∴是的中垂線，
∴       在中有：
∴ -------------------------------------------------10分

（1）由已知等腰直角三角形△DBC可推出DB=DC，且∠BDF=∠ADC=90°，與已知DA=DF通過SAS證得△FBD≌△ACD；
（2）先由（1）△FBD≌△ACD得出BF=AC，再由BF平分∠DBC和BE⊥AC通過ASA證得△ABE≌△CBE，即得CE=AE=AC，從而得出結論；
（3）連接CG，由H是BC邊的中點和等腰直角三角形△DBC得出BG=CG，再由直角三角形CEG得出CG²=CE²+GE²，從而得出CE，GE，BG的關系．