Question

課題學(xué)習(xí)：
（1）如圖1，E、F、G、H分別是正方形ABCD各邊的中點(diǎn)，則四邊形EFGH是______形，正方形ABCD的面積記為S₁，EFGH的面積為S₂，則S₁和S₂間的數(shù)量關(guān)系：______；
（2）如圖2，E、F、G、H分別是菱形ABCD各邊的中點(diǎn)，則四邊形EFGH是______形，菱形ABCD的面積為S₁，EFGH的面積為S₂，則S₁和S₂間的數(shù)量關(guān)系：______；
（3）如圖3，梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC⊥BD，垂足為O，E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)．四邊形EFGH是______形；若梯形ABCD的面積記為S₁，四邊形EFGH的面積記為S₂，由圖可猜想S₁和S₂間的數(shù)量關(guān)系為：______；
（4）如圖4，E、G分別是平行四邊形ABCD的邊AB、DC的中點(diǎn)，H、F分別是邊形AD、BC上的點(diǎn)，且四邊形EFGH為平行四邊形，若把平行四邊形ABCD的面積記為S₁，把平行四邊形形EFGH的面積記為S₂，試猜想S₁和S₂間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC、BD．先根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得出EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=BD，EF=HG=AC，則四邊形EFGH為平行四邊形，再由正方形的對(duì)角線相等且互相垂直，得出EF=FG，EF⊥FG，從而證明?EFGH是正方形；利用相似多邊形的面積比等于相似比的平方可求得S₁=2S₂；
（2）連接AC、BD．先根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得出EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=BD，EF=HG=AC，則四邊形EFGH為平行四邊形，再由菱形的對(duì)角線互相垂直，得出EF⊥FG，從而證明?EFGH是矩形；利用相似三角形的面積比等于相似比的平方可求得S₁=2S₂；
（3）先根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得出EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=BD，EF=HG=AC，則四邊形EFGH為平行四邊形，再由AC⊥BD，得出EF⊥FG，從而證明?EFGH是矩形；利用相似多邊形的面積比等于相似比的平方可求得S₁=2S₂；
（4）過(guò)點(diǎn)H作HM⊥AB于M，延長(zhǎng)MH交CD于N，先由垂線的唯一性得出MN為平行四邊形ABCD的邊AB、DC上的高，再根據(jù)三角形的面積公式得出S_△AEH+S_△DHG=AB•MN=S_?ABCD，同理得出S_△BEF+S_△CFG=AB•PQ=S_?ABCD，進(jìn)而求出S_?EFGH=S_?ABCD，即S₁=2S₂．
解答：解：（1）如圖1．連接AC、BD．
∵E、F、G、H分別是正方形ABCD各邊的中點(diǎn)，
∴EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=BD，EF=HG=AC，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，
∴EF=FG，EF⊥FG，
∴?EFGH是正方形；
∵正方形ABCD∽正方形EFGH，
∴S₁：S₂=（AB：EF）²=（2BE：BE）²=（2：）²=2，
∴S₁=2S₂；

（2）如圖2．連接AC、BD．
∵E、F、G、H分別是菱形ABCD各邊的中點(diǎn)，
∴EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=BD，EF=HG=AC，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴EF⊥FG，
∴?EFGH是矩形；
在△ABD中，∵EH∥BD，
∴△AEH∽△ABD，
∵EH=BD，
∴S_△AEH：S_△ABD=（EH：BD）²=，即S_△AEH=S_△ABD，
同理可證：S_△CFG=S_△CBD，
∴S_△AEH+S_△CFG=（S_△ABD+S_△CBD）=S_菱形ABCD．
同理可得S_△BEF+S_△DHG=（S_△ABC+S_△CDA）=S_菱形ABCD，
∴S_△AEH+S_△CFG+S_△BEF+S_△DHG=S_菱形ABCD，
∴S_矩形EFGH=S_菱形ABCD-（S_△AEH+S_△CFG+S_△BEF+S_△DHG）=S_菱形ABCD，
∴S₁=2S₂；

（3）如題目圖3．∵E、F、G、H分別是梯形ABCD各邊的中點(diǎn)，
∴EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=BD，EF=HG=AC，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
∵AC⊥BD，
∴EF⊥FG，
∴?EFGH是矩形；
在△ABD中，∵EH∥BD，
∴△AEH∽△ABD，
∵EH=BD，
∴S_△AEH：S_△ABD=（EH：BD）²=，即S_△AEH=S_△ABD，
同理可證：S_△CFG=S_△CBD，
∴S_△AEH+S_△CFG=（S_△ABD+S_△CBD）=S_梯形ABCD．
同理可得S_△BEF+S_△DHG=（S_△ABC+S_△CDA）=S_梯形ABCD，
∴S_△AEH+S_△CFG+S_△BEF+S_△DHG=S_梯形ABCD，
∴S_矩形EFGH=S_梯形ABCD-（S_△AEH+S_△CFG+S_△BEF+S_△DHG）=S_梯形ABCD，
∴S₁=2S₂；

（4）S₁=2S₂．理由如下：
如圖4．過(guò)點(diǎn)H作HM⊥AB于M，延長(zhǎng)MH交CD于N．
∵AB∥CD，HM⊥AB，
∴HM⊥CD，即MN⊥CD，則MN為平行四邊形ABCD的邊AB、DC上的高．
∵E、G分別是平行四邊形ABCD的邊AB、DC的中點(diǎn)，
∴AE=BE=CG=GD=AB=CD．
∵S_△AEH=AE•HM=AB•HM，S_△DHG=GD•HN=CD•HN，
∴S_△AEH+S_△DHG=AB•HM+CD•HN=AB（HM+HN）=AB•MN=S_?ABCD．
同理可得S_△BEF+S_△CFG=AB•FQ+CD•FP=AB（FQ+FP）=AB•PQ=S_?ABCD，
∴S_△AEH+S_△CFG+S_△BEF+S_△DHG=S_?ABCD，
∴S_?EFGH=S_?ABCD-（S_△AEH+S_△CFG+S_△BEF+S_△DHG）=S_?ABCD，
∴S₁=2S₂．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，特殊四邊形的判定和性質(zhì)，相似多邊形的性質(zhì)，多邊形的面積，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．