Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=2∠B，（1）如圖①，當∠C=90°，AD為∠ABC的角平分線時，在AB上截取AE=AC，連接DE，易證AB=AC+CD．請證明AB=AC+CD；

（2）①如圖②，當∠C≠90°，AD為∠BAC的角平分線時，線段AB、AC、CD又有怎樣的數量關系？請直接寫出你的結論，不要求證明；

②如圖③，當∠C≠90°，AD為△ABC的外角平分線時，線段AB、AC、CD又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想并證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①AB=AC+CD；②AC+AB=CD，證明見解析．

【解析】

（1）首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE=45°，求出BE=DE=CD，進而得出答案；

（2）①首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE，求出BE=DE=CD，進而得出答案；

②首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠EDC，求出BE=DE=CD，進而得出答案．

解：（1）∵AD為∠ABC的角平分線，

∴∠EAD=∠CAD，

在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，

∴△AED≌△ACD（SAS），

∴ED=CD，∠C=∠AED=90°，

∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，

∴∠B=45°，∴∠BDE=45°，

∴BE=ED=CD，

∴AB=AE+BE=AC+CD；

（2）①AB=AC+CD．

理由：在AB上截取AE=AC，連接DE，

∵AD為∠ABC的角平分線，∴∠EAD=∠CAD，

在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，

∴△AED≌△ACD（SAS），

∴ED=CD，∠C=∠AED，

∵∠ACB=2∠B，

∴∠AED=2∠B，

∵∠B+∠BDE=∠AED，

∴∠B=∠BDE，∴BE=ED=CD，

∴AB=AE+BE=AC+CD；

②AC+AB=CD．

理由：在射線BA上截取AE=AC，連接DE，

∵AD為∠EAC的角平分線，

∴∠EAD=∠CAD，

在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，

∴△AED≌△ACD（SAS），

∴ED=CD，∠ACD=∠AED，

∵∠ACB=2∠B，

∴設∠B=x，則∠ACB=2x，∴∠EAC=3x，∴∠EAD=∠CAD=1.5x，

∵∠ADC+∠CAD=∠ACB=2x，∴∠ADC=0.5x，∴∠EDC=x，

∴∠B=∠EDC，∴BE=ED=CD，

∴AB+AE=BE=AC+AB=CD．