Question

【題目】如圖，P為等邊△ABC外一點，AH垂直平分PC于點H，∠BAP的平分線交PC于點D．

（1）求證：DP＝DB；

（2）求證：DA+DB＝DC；

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）首先由等邊三角形的性質易得AB=AC=BC，由垂直平分線的性質易得AP=AC，等量代換可得AP=AB，由SAS定理可證得△PAD≌△BAD，利用全等三角形的性質可得結論；

（2）在CP上截CQ=PD，證明△ACQ≌△APD，等量代換，證得△ADQ為等邊三角形，得出結論.

(1) ∵AH是PC的垂直平分線

∴PA＝PC＝AB

∵AD平分∠PAB

∴∠PAD＝∠BAD

在△PAD和△BAD中，

∴△PAD≌△BAD（SAS）

∴DP＝DB

(2) 在CP上截取CQ＝PD，連接AQ

∵AP＝AC

∴∠APD＝∠ACQ

在△APD和△ACQ中，

∴△APD≌△ACQ（SAS）

∴AD＝AQ，∠CAQ＝∠PAD

∴∠BAC＝∠CAQ＋∠BAQ＝∠PAD＋∠BAQ＝∠BAD＋∠BAQ＝∠DAQ＝60°

∴△ADQ為等邊三角形

∴AD＝DQ

∴CD＝DQ＋CQ＝AD＋DB