Question

如圖，平行四邊形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，AD=6，若OA、OB的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x²-7x+12=0的兩個(gè)根，且OA＞OB．
（1）求的值．
（2）若E為x軸上的點(diǎn)，且S_△AOE=，求經(jīng)過D、E兩點(diǎn)的直線的解析式，并判斷△AOE與△DAO是否相似？
（3）若點(diǎn)M在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則在直線AB上是否存在點(diǎn)F，使以A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出F點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）解一元二次方程求出OA，OB的長(zhǎng)度，再利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)度，再代入計(jì)算即可；
（2）先根據(jù)三角形的面積求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求解直線的解析式；分別求出兩三角形夾直角的兩對(duì)應(yīng)邊的比，如果相等，則兩三角形相似，否則不相似；
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)，分AC與AF是鄰邊并且點(diǎn)F在射線AB上與射線BA上兩種情況，以及AC與AF分別是對(duì)角線的情況分別進(jìn)行求解計(jì)算．
解答：解：（1）x²-7x+12=0，
（x-3）（x-4）=0，
∴x-3=0，x-4=0，
解得x₁=3，x₂=4，
∵OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
在△AOB中，AB===5，
∴sin∠ABC==；

（2）根據(jù)題意，設(shè)E（x，0），則
S_△AOE=×OA×x=×4x=，
解得x=，
∴E（，0）或（-，0），
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（6，4），
設(shè)經(jīng)過D、E兩點(diǎn)的直線的解析式為y=kx+b，
則①，
解得 ，
∴解析式為y=x-；
②，
解得，
解析式為：y=x+，
在△AOE與△DAO中，==，
==，
∴=，
又∵∠AOE=∠OAD=90°，
∴△AOE∽△DAO；

（3）根據(jù)計(jì)算的數(shù)據(jù)，OB=OC=3，
∴AO平分∠BAC，
①AC、AF是鄰邊，點(diǎn)F在射線AB上時(shí)，AF=AC=5，
所以點(diǎn)F與B重合，
即F（-3，0），
②AC、AF是鄰邊，點(diǎn)F在射線BA上時(shí)，M應(yīng)在直線AD上，且FC垂直平分AM，
點(diǎn)F（3，8）．
③AC是對(duì)角線時(shí)，做AC垂直平分線L，AC解析式為y=-x+4，直線L過（，2），且k值為（平面內(nèi)互相垂直的兩條直線k值乘積為-1），
L解析式為y=x+，聯(lián)立直線L與直線AB求交點(diǎn)，
∴F（-，-），
④AF是對(duì)角線時(shí)，過C做AB垂線，垂足為N，根據(jù)等積法求出CN=，勾股定理得出，AN=，做A關(guān)于N的對(duì)稱點(diǎn)即為F，AF=，過F做y軸垂線，垂足為G，F(xiàn)G=×=，
∴F（-，）．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)有四個(gè)：F₁（-3，0）；F₂（3，8）；F₃（-，-）；F₄（-，）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元二次方程，相似三角形的性質(zhì)與判定，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，綜合性較強(qiáng)，（3）求點(diǎn)F要根據(jù)AC與AF是鄰邊與對(duì)角線的情況進(jìn)行討論，不要漏解．