Question

已知：如圖1，AB為⊙O的直徑，M是的中點，AM交BC于D，MD=1，DA=2．
（1）求證：△MBD∽△MAB；
（2）求∠A的度數；
（3）延長AB到E，使BE=BO，連接ME、MC，如圖2，試證明四邊形MCBE是平行四邊形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圓周角定理由弧MC=弧MB得到∠MBC=∠MAB，根據相似三角形的判定即可得到△MBD∽△MAB；
（2）利用△MBD∽△MAB得到MB：MA=MD：MB，而MD=1，DA=2，可求出MB=，根據直徑所對的圓周角為直角得到∠AMB=90°，利用三角函數可求出∠MBD=30°，則∠A=30°；
（3）連OM，由于M是的中點，根據垂徑定理的推論得到OD垂直平分BC，且BM=MC，又∠A=30°，則∠MOB=2∠A=60°，所以△MOB為等邊三角形，則OB=BM，∠OBD=30°，而∠C=∠A=30°，OB=BE，于是BE=MC，BE∥MC，根據平行四邊形的判定即可得到結論．
解答：（1）證明：∵M是的中點，即弧MC=弧MB，
∴∠MBC=∠MAB，
而∠BMD=∠AMB，
∴△MBD∽△MAB；

（2）解：∵△MBD∽△MAB，
∴MB：MA=MD：MB，
而MD=1，DA=2，
∴MB：3=1：MB，
∴MB=，
∵AB為直徑，
∴∠AMB=90°，
在Rt△MBD中，∵tan∠MBD==，
∴∠MBD=30°，
∴∠A=30°；

（3）證明：連OM，
∵M是的中點，
∴OD垂直平分BC，
∴BM=MC，
∵∠A=30°，
∴∠MOB=2∠A=60°，
∴△MOB為等邊三角形，
∴OB=BM，∠OBD=30°，
∴OB=BE，
而∠C=∠A=30°，
∴∠C=∠OBD=30°，
∴BE∥MC，
∴四邊形MCBE是平行四邊形．
點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、切線的判定定理和圓周角定理等是解決圓的綜合題的關鍵；運用相似三角形的判定與性質以及勾股定理是解決幾何計算常用的方法；對于綜合題一般采用各個擊破的方式解決．