Question

已知，如圖，△ABC為等邊三角形，AE=CD，AD、BE相交于點(diǎn)P，BQ⊥AD于Q．
（1）求證：BE=AD；
（2）求∠BPQ的度數(shù)；
（3）若PQ=3，PE=1，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，通過全等三角形的判定定理SAS證得結(jié)論；
（2）利用（1）中的全等三角形的對應(yīng)角相等和三角形外角的性質(zhì)求得∠BPQ=60°；
（3）利用（2）的結(jié)果求得∠PBQ=30°，所以由“30度角所對的直角邊是斜邊的一半”得到2PQ=BP=6，則易求BE=BP+PE=7．

解答：（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=CA，∠BAE=∠C=60°，
在△AEB與△CDA中，

AB=CA ∠BAE=∠C    AE=CD

，
∴△AEB≌△CDA（SAS），
∴BE=AD；

（2）解：由（1）知，△AEB≌△CDA，則∠ABE=∠CAD，
∴∠BAD+∠ABD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，
∴∠BPQ=∠BAD+∠ABD=60°；

（3）解：如圖，由（2）知∠BPQ=60°．
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°，
∴PQ=

1

2

BP=3，
∴BP=6
∴BE=BP+PE=7，即AD=7．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．