Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線的圖象經過（1，0），（－2，3）兩點，且與y軸交于點A。

（1）求直線的表達式；

（2）過點A做平行于x軸的直線l，l與拋物線（a>0）交于B，C兩點。若BC≥4，求a的取值范圍；

（3）設直線與拋物線交于D，E兩點，當3≤DE≤5時，結合函數的圖象，直接寫出m的取值范圍是____________________。

Answer 1

【答案】（1）y=－x+1；（2）0<a≤；（3）－4≤m≤0.

【解析】

（1）利用待定系數法求函數的解析式即可求解，
（2）依題意畫出圖形，結合二次函數的開口大小規律可求出a的取值范圍，
（3）依題意，聯立方程組 ，消去y得x2+x+m-2=0，設D（x1，y1），E（x2，y2），由DE==以及x1+x2=-1，x1x2=m-2，y1+y2=3，y1y2=m，列出方程即可解決問題．

解：（1）因為直線的圖象經過（1，0），（－2，3）兩點，

所以解得

所以直線y=kx+b的表達式為y=－x+1．

（2）如圖所示：

直線y=1與拋物線G1：y=ax2－1（a>0）的交點B，C關于y軸對稱．

所以當線段BC的長等于4時，B，C兩點的坐標分別為（2，1），（－2，1），

把點B代入y=ax2-1，1=4a-1，
解得，

所以，由拋物線二次項系數的性質及已知a>0可知，

當BC≥4時，0<a≤．

（3）依題意，聯立方程組，消去y得x2+x+m-2=0，

設D（x1，y1），E（x2，y2），
∴DE==

∵x1+x2=-1，x1x2=m-2，y1+y2=3，y1y2=m，
∴DE=，
當DE=3時，=3，解得m=0，
當DE=5時，=5，解得m=-4，
∴－4≤m≤0．

故答案為：（1）y=－x+1；（2）0<a≤；（3）－4≤m≤0.