Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，CD是AB邊上的高線，且有2CD=3AB，又E，F(xiàn)為CD的三等分點(diǎn)，則∠ACB和∠AEB之和為（ ）

A．45°
B．90°
C．60°
D．75°

Answer 1

【答案】分析：先設(shè)AD=x，由于AC=BC，CD是AB邊上的高線，可知BD=x，且CD是AB的垂直平分線，利用2CD=3AB，易求CD=3x，再利用垂直平分線的定理易求∠ACB=2∠BCE，∠AEB=2∠BEF，而E、F是三等分點(diǎn)，那么CE=EF=DF=x，易證△DBF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求BF=x，可求=，而夾角相等易證△EFB∽△BFC，那么有∠FBE=∠BCF，∠FEB=∠FBC，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)易證∠ACB+∠AEB=90°．
解答：解：如右圖所示，先設(shè)AD=x，
∵AC=BC，CD是AB邊上的高線，
∴BD=AD=x，CD是AB的垂直平分線，
又∵2CD=3AB，AE=BE，AF=BF，
∴CD=3x，∠ACB=2∠BCE，∠AEB=2∠BEF，
又∵E、F是三等分點(diǎn)，
∴CE=EF=DF=x，
∴DF=DB，
又∵∠CDB=90°，
∴△DBF是等腰直角三角形，
∴∠DFB=45°，BF=x，
∴=，==，
∴=，
又∵∠EFB=∠BFC，
∴△EFB∽△BFC，
∴∠FBE=∠BCF，∠FEB=∠FBC，
又∵∠DFB=∠FBE+∠FEB=∠FCB+∠FBC，
∴45°=∠FBE+∠FEB，
∴90°=2∠FBE+2∠FEB=2∠BCF+2∠FBC，
∴∠ACB+∠AEB=90°．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、線段垂直平分線的定理．關(guān)鍵是證明△EFB∽△BFC．