Question

如圖，在直角坐標系中，已知點A（0，1），B（-4，4），將點B繞點A順時針方向90°得到點C；頂點在坐標原點的拋物線經過點B．
（1）求拋物線的解析式和點C的坐標；
（2）拋物線上一動點P，設點P到x軸的距離為d₁，點P到點A的距離為d₂，試說明d₂=d₁+1；
（3）在（2）的條件下，請探究當點P位于何處時，△PAC的周長有最小值，并求出△PAC的周長的最小值．

Answer 1

解：（1）設拋物線的解析式：y=ax²，
∵拋物線經過點B（-4，4），
∴4=a•4²，解得a=，
所以拋物線的解析式為：y=x²；
過點B作BE⊥y軸于E，過點C作CD⊥y軸于D，如圖，
∵點B繞點A順時針方向90°得到點C，
∴Rt△BAE≌Rt△ACD，
∴AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，
∴OD=AD+OA=5，
∴C點坐標為（3，5）；

（2）設P點坐標為（a，b），過P作PF⊥y軸于F，PH⊥x軸于H，如圖，
∵點P在拋物線y=x²上，
∴b=a²，
∴d₁=a²，
∵AF=OF-OA=PH-OA=d₁-1=a²-1，PF=a，
在Rt△PAF中，PA=d₂==
=a²+1，
∴d₂=d₁+1；

（3）作直線y=1，過C點作y=1 的垂線，交拋物線于P點，則P即為所求的點．
由（1）得AC=5，
∴△PAC的周長=PC+PA+5
=PC+PH+6，
要使PC+PH最小，則C、P、H三點共線，
∴此時P點的橫坐標為3，把x=3代入y=x²，得到y=，
即P點坐標為（3，），此時PC+PH=5，
∴△PAC的周長的最小值=5+6=11．
分析：（1）設拋物線的解析式：y=ax²，把B（-4，4）代入即可得到a的值；過點B作BE⊥y軸于E，過點C作CD⊥y軸于D，易證Rt△BAE≌Rt△ACD，得到AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，即可得到C點坐標（3，5）；
（2）設P點坐標為（a，b），過P作PF⊥y軸于F，PH⊥x軸于H，則有d₁=a²，又AF=OF-OA=PH-OA=d₁-1=a²-1，PF=a，在Rt△PAF中，利用勾股定理得到PA=d₂=a²+1，
即有結論d₂=d₁+1；
（3）△PAC的周長=PC+PA+5，由（2）得到△PAC的周長=PC+PH+6，要使PC+PH最小，則C、P、H三點共線，P點坐標為（3，），此時PC+PH=5，得到△PAC的周長的最小值=5+6=11．
點評：本題考查了點在拋物線上，點的橫縱坐標滿足二次函數的解析式和頂點在原點的二次函數的解析式為：y=ax²；也考查了旋轉的性質、勾股定理以及兩點之間線段最短．