Question

設都是實數，且．我們規定：滿足不等式的實數的所有取值的全體叫做閉區間，表示為．對于一個函數，如果它的自變量與函數值滿足：當時，有，我們就稱此函數是閉區間上的“閉函數”．

（1）反比例函數是閉區間上的“閉函數”嗎？請判斷并說明理由；

（2）若一次函數是閉區間上的“閉函數”，求此函數的解析式；

（3）若實數c，d滿足，且，當二次函數是閉區間上的“閉函數”時，求的值．

Answer 1

 解：（1）是；

由函數的圖象可知，當時，函數值隨著自變量的增大而減少，而當時，；時，，故也有，

所以，函數是閉區間上的“閉函數”．

（2）因為一次函數是閉區間上的“閉函數”，所以根據一次函數的圖象與性質，必有：

①當時，，解之得．

∴一次函數的解析式為．

②當時，，解之得．

∴一次函數的解析式為．…

故一次函數的解析式為或．

（3）由于函數的圖象開口向上，且對稱軸為，頂點為，由題意根據圖象，分以下兩種情況討論：

①當時，必有時，且時，，

即方程必有兩個不等實數根，解得，．

而0，6分布在2的兩邊，這與矛盾，舍去；

②當時，必有函數值的最小值為，

由于此二次函數是閉區間上的“閉函數”，故必有，

從而有，而當時，，即得點；

又點關于對稱軸的對稱點為，

由“閉函數”的定義可知必有時，，即 ，解得，．

故可得，符合題意．

綜上所述，為所求的實數．