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已知,如圖1,拋物線過點且對稱軸為直線點B為直線OA下方的拋物線上一動點,點B的橫坐標為m.

(1)求該拋物線的解析式:

(2)若的面積為S.求S關于m的函數關系式,并求出S的最大值.

(3)如圖2,過點B作直線軸,交線段OA于點C,在拋物線的對稱軸上是否存在點D,使是以D為直角頂點的等腰直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點B的坐標,若不存在,請說明理由.

 

【答案】

(1)

(2)S

(3)存在,點B為

【解析】

試題分析:(1)根據拋物線過點且對稱軸為直線即可求得結果;

(2)過點B作軸,交于點,則可得直線,則可設點,點即可表示出BH,再根據三角形的面積公式即可表示出S關于m的函數關系式,根據二次函數的性質即可求得最大值;

(3)設在拋物線的對稱軸上存在點D滿足題意,過點D作于點Q,則由(2)有點,點B,即可表示BC,由△BCD是以D為直角頂點的等腰直角三角形可得,則可得,再結合絕對值的性質分類討論即可.

(1)由題知:解之,得

該拋物線的解析式為:

(2)過點B作軸,交于點由題知直線為:

設點

 

(3)設在拋物線的對稱軸上存在點D滿足題意,

過點D作于點Q,則由(2)有點,點B

是以D為直角頂點的等腰直角三角形

即是:

解之:(舍去),

時,

解之:(舍去)

時,

綜上,滿足條件的點B為.

考點:二次函數的綜合題

點評:本題是一道綜合性的題目,主要考查了學生對二次函數的綜合應用能力,是中考壓軸題,難度較大.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

已知,如圖1,拋物線y=ax2+bx過點A(6,3),且對稱軸為直線x=
52
.點B為直線OA下方的拋物線上一動點,點B的橫坐標為m.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若△OAB的面積為S.求S關于m的函數關系式,并求出S的最大值;
(3)如圖2,過點B作直線BC∥y軸,交線段OA于點C,在拋物線的對稱軸上是否存在點D,使△BCD是以D為直角頂點的等腰直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點B的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數學 來源: 題型:

(2013•大安市模擬)已知:如圖1,拋物線y=-x2+bx+c的頂點為Q,與x軸交于A(-1,0)、B(5,0)兩點,與y軸交于C點.
(1)求拋物線的解析式及其頂點Q的坐標;
(2)在該拋物線的對稱軸上求一點P,使得△PAC的周長最小.請在圖中畫出點P的位置,并求點P的坐標;
(3)如圖2,若點D是第一象限拋物線上的一個動點,過D作DE⊥x軸,垂足為E.
①有一個同學說:“在第一象限拋物線上的所有點中,拋物線的頂點Q與x軸相距最遠,所以當點D運動至點Q時,折線D-E-O的長度最長”.這個同學的說法正確嗎?請說明理由.
②若DE與直線BC交于點F.試探究:四邊形DCEB能否為平行四邊形?若能,請直接寫出點D的坐標;若不能,請簡要說明理由;

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科目:初中數學 來源: 題型:

(2012•鄂州)已知:如圖一,拋物線y=ax2+bx+c與x軸正半軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,直線y=x-2經過A、C兩點,且AB=2.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若直線DE平行于x軸并從C點開始以每秒1個單位的速度沿y軸正方向平移,且分別交y軸、線段BC于點E,D,同時動點P從點B出發,沿BO方向以每秒2個單位速度運動,(如圖2);當點P運動到原點O時,直線DE與點P都停止運動,連DP,若點P運動時間為t秒;設s=
ED+OPED•OP
,當t為何值時,s有最小值,并求出最小值.
(3)在(2)的條件下,是否存在t的值,使以P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似;若存在,求t的值;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數學 來源: 題型:

已知:如圖1,拋物線C1y=
1
3
(x-m)2+n
(m>0)的頂點為A,與y軸相交于點B,拋物線C2y=-
1
3
(x+m)2-n
的頂點為C,并與y軸相交于點D,其中點A、B、C、D中的任意三點都不在同一條直線
(1)判斷四邊形ABCD的形狀,并說明理由;
(2)如圖2,若拋物線y=
1
3
(x-m)2+n
 (m>0)的頂點A落在x軸上時,四邊形ABCD恰好是正方形,請你確定m,n的值;
(3)是否存在m,n的值,使四邊形ABCD是鄰邊之比為1:
3
 的矩形?若存在,請求出m,n的值;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數學 來源: 題型:

(2013•寶安區二模)已知:如圖1,拋物線經過點O、A、B三點,四邊形OABC是直角梯形,其中點A在x軸上,點C在y軸上,BC∥OA,A(12,0)、B(4,8).
(1)求拋物線所對應的函數關系式;
(2)若D為OA的中點,動點P自A點出發沿A→B→C→O的路線移動,速度為每秒1個單位,移動時間記為t秒.幾秒鐘后線段PD將梯形OABC的面積分成1﹕3兩部分?并求出此時P點的坐標;
(3)如圖2,作△OBC的外接圓O′,點Q是拋物線上點A、B之間的動點,連接OQ交⊙O′于點M,交AB于點N.當∠BOQ=45°時,求線段MN的長.

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