Question

（2012•香坊區三模）平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線y=

4

3

x+12分別與x軸、y軸交于點A、B，經過點B直線y=kx+12交x軸于點C，且AB=AC．
（1）求直線BC的解析式；
（2）點P從點C出發沿線段C0以每秒1個單位長度向終點0運動；過點P作y軸的平行線交直線BC于點Q，交直線AB于點M，過點Q作QN⊥AB交直線AB予點N．設線段MN的長為d（d≠O），運動時間為t（秒），求d與時間t（秒）的函數關系式，并直接寫出自變量的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，經過點A、N、Q三點的圓與直線BC交于另一點K，AQ為何值時，KQ：AQ=

10

：10？

Answer 1

分析：（1）對于直線y=

4

3

x+12，令y=0，求出x的值，即為A的橫坐標；令x=0，求出y的值，即為B的縱坐標，進而得出OA與OB的長，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出AB的長，由AB=AC，得出AC的長，再由OC=AC-OA求出OC的長，確定出C的坐標，設直線BC解析式為y=kx+b（k≠0），將B和C的坐標代入得到關于k與b的方程組，求出方程組的解得到k與b的值，即可得到直線BC的解析式；
（2）根據題意畫出相應的圖形，如圖1所示，可得出PC=t，由OC-PC表示出OP，即為P的橫坐標，再由PQ平行與y軸，即垂直于x軸，得到Q、M的橫坐標與P橫坐標相同，將M的橫坐標代入直線AB的解析式中，求出對應的y值，即為PM的長，將Q的橫坐標代入直線BC解析式中，求出對應的y值，即為PQ的長，由PM-PQ表示出MQ的長，利用同角的余角相等得到∠MQN=∠MAP=∠BAO，在直角三角形ABO中，求出sin∠BAO=

4

5

，在直角三角形MNQ中，利用MQ•sin∠MQN表示出MN的長，即為d關于t的函數關系式，由OC=6，P從點C出發沿線段C0以每秒1個單位長度向終點0運動，可得出t的范圍；
（3）在圖1中畫出經過點A、N、Q三點的圓，如圖2所示，連接AK，AQ，由∠ANQ=90°，根據90度圓周角所對的弦為直徑，可得出AQ為經過A、N、Q三點的直徑，再利用直徑所對的圓周角為直角得到∠AKQ=90°，在三角形BOC中，由OB與OC的長，利用勾股定理求出BC的長，再由OB及AC的長，利用面積法求出AK的長，由KQ與AQ的比值，設出KQ與AQ，在Rt△AKQ中，根據勾股定理列出方程，求出方程的解得到AQ的長．

解答：解：（1）對于直線y=

4

3

x+12，令y=0，解得：x=-9；令x=0，解得：y=12，
∴A（-9，0），B（0，12），
∴AO=9，BO=12，
在Rt△AOB中，根據勾股定理得：AB=

AO2+BO2

=15，
∵AB=AC，
∴AC=AB=15，
∴OC=AC-OA=15-9=6，
∴C（6，0），
設直線BC解析式為y=kx+b（k≠0），
將B和C坐標代入得：

b=12 6k+b=0

，
解得：

k=-2 b=12

，
則直線BC解析式為y=-2x+12；


（2）由題意得：PC=t，OC=6，則OP=OC-PC=6-t，
∴點P的橫坐標為6-t，
又直線PQ⊥x軸，
∴點Q、M的橫坐標為6-t，
將x=6-t代入直線y=

4

3

x+12，得：y=

4

3

（6-t）+12，
∴PM=

4

3

（6-t）+12=20-

4

3

t，
將x=6-t代入y=-2x+12，得：y=-2（6-t）+12=2t，
∴MQ=PM-PQ=20-

4

3

t-2t=20-

10

3

t，
∵∠AMP+∠MAP=∠AMP+∠MQN=90°，
∴∠MQN=∠MAP=∠BAO，
∵在Rt△ABO中，sin∠BAO=

4

5

，
∴在Rt△MNQ中，MN=MQ•sin∠MQN=16-

8

3

t，
∴d=-

8

3

t+16（0≤t＜6）；
（3）如圖，連接AK，AQ，
∵∠ANQ=90°，
∴AQ為經過A、N、Q三點的直徑，
∴∠AKQ=90°，
在Rt△BOC中，OC=6，OB=12，
根據勾股定理得：BC=

OC2+OB2

=6

5

，又AC=15，
∴S_△ABC=

1

2

AC•OB=

1

2

BC•AK，即15×12=6

5

AK，
解得：AK=6

5

，
∵KQ：AQ=

10

：10，則設KQ=m，AQ=

10

m，
在Rt△AKQ中，根據勾股定理得：AK²+KQ²=AQ²，
即（6

5

）²+m²=（

10

m）²，
解得：m=2

5

或m=-2

5

（舍去），
則AQ=

10

×2

5

=10

2

．

點評：此題屬于一次函數綜合題，涉及的知識有：一次函數與坐標軸的交點，坐標與圖形性質，勾股定理，待定系數法求一次函數解析式，銳角三角函數定義，利用了方程及轉化的思想，是一道難道較強的試題．