Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點A的坐標為（-3，0），若將經過A、C兩點的直線y=kx+b沿y軸向下平移3個單位后恰好經過原點，且拋物線的對稱軸是直線x=-2。
（1）求直線AC及拋物線的函數表達式；
（2）如果P是線段AC上一點，設△ABP、△BPC的面積分別為S_△ABP、S_△BPC，且S_△ABP：S_△BPC=2：3，求點P的坐標；
（3）設⊙Q的半徑為1，圓心Q在拋物線上運動，則在運動過程中是否存在⊙Q與坐標軸相切的情況？若存在，求出圓心Q的坐標；若不存在，請說明理由，并探究：若設⊙Q的半徑為r，圓心Q在拋物線上運動，則當r取何值時，⊙Q與兩坐軸同時相切。

Answer 1

解：（1）∵沿y軸向下平移3個單位后恰好經過原點，
∴b=3，C（0，3），
將A代入，得，解得k=1，
∴直線AC的函數表達式為，
∵拋物線的對稱軸是直線
∴解得
∴拋物線的函數表達式為；
（2）如圖，過點B作BD⊥AC于點D，
∵，
∴
∴，
過點P作PE⊥x軸于點E，
∵PE∥CO，
∴△APE∽△ACO，
∴，
∴
∴，
解得
∴點P的坐標為；
（3）（Ⅰ）假設⊙Q在運動過程中，存在與坐標軸相切的情況，
設點Q的坐標為，
①當⊙Q與y軸相切時，有，即，
當時，得，
∴
當時，得，
∴
②當⊙Q與x軸相切時，有，即
當時，得，即，解得，
∴
當時，得，即，解得，
∴，，
綜上所述，存在符合條件的⊙Q，其圓心Q的坐標分別為，，，，，
（Ⅱ）設點Q的坐標為，
當⊙Q與兩坐標軸同時相切時，有，
由，得，即，
∵△=
∴此方程無解，
由，得，即，解得
∴當⊙Q的半徑時，⊙Q與兩坐標軸同時相切。