Question

【題目】對任意一個四位數n，如果千位與十位上的數字之和為9，百位與個位上的數字之和也為9，則稱n為“極數”。

(1)請任意寫出三個“極數”；并猜想任意一個“極數”是否是99的倍數，請說明理由；

(2)如果一個正整數a是另一個正整數b的平方,則稱正整數a是完全平方數。若四位數m為“極數”,記D(m)=,求滿足D(m)是完全平方數的所有m.

Answer 1

【答案】（1）1287，2376，8712，任意一個“極數”都是99的倍數，理由見解析；（2）D（m）是完全平方數的所有m值為1188或2673或4752或7425．

【解析】

（1）先直接利用“極數”的意義寫出三個，設出四位數n的個位數字和十位數字，進而表示出n，即可得出結論；
（2）先確定出四位數m，進而得出D（m），再再根據完全平方數的意義即可得出結論．

解：（1）根據“極數”的意義得，1287，2376，8712，

任意一個“極數”都是99的倍數，

理由：設對于任意一個四位數且是“極數”n的個位數字為x，十位數字為y，（x是0到9的整數，y是0到8的整數）

∴百位數字為（9﹣x），千位數字為（9﹣y），

∴四位數n為：1000（9﹣y）+100（9﹣x）+10y+x＝9900﹣990y﹣99x＝99（100﹣10y﹣x），

∵x是0到9的整數，y是0到8的整數，

∴100﹣10y﹣x是整數，

∴99（100﹣10y﹣x）是99的倍數，

即：任意一個“極數”都是99的倍數；

（2）設四位數m為“極數”的個位數字為x，十位數字為y，（x是0到9的整數，y是0到8的整數）

∴m＝99（100﹣10y﹣x），

∵m是四位數，

∴m＝99（100﹣10y﹣x）是四位數，

即1000≤99（100﹣10y﹣x）＜10000，

∵D（m）＝＝3（100﹣10y﹣x），

∴30≤3（100﹣10y﹣x）≤303

∵D（m）完全平方數，

∴3（100﹣10y﹣x）既是3的倍數也是完全平方數，

∴3（100﹣10y﹣x）只有36，81，144，225這四種可能，

∴D（m）是完全平方數的所有m值為1188或2673或4752或7425．