Question

（2013•順義區二模）已知拋物線y=3x²+mx-2
（1）求證：無論m為任何實數，拋物線與x軸總有兩個交點．
（2）若m為整數，當關于x的方程3x²+mx-2=0的兩個有理根在-1與

4

3

之間（不包括-1、

4

3

）時，求m的值．
（3）在（2）的條件下．將拋物線y=3x²+mx-2在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新圖象G，再將圖象G向上平移n個單位，若圖象G與過點（0，3）且與x軸平行的直線有4個交點，直接寫出n的取值范圍

11

12

＜n＜3

．

Answer 1

分析：（1）利用根的判別式大于0證明即可；
（2）用含有m的代數式表示方程的兩個根，然后列出不等式組，求解得到m的取值范圍，再根據方程的根是有理根求出m的值即可；
（3）求出拋物線頂點翻折后的對應點的坐標，然后根據有4個交點確定出平移距離，從而得解．

解答：（1）證明：△=b²-4ac=m²-4×3×（-2）=m²+24，
∵m²≥0，
∴m²+24≥24，
∴無論m為任何實數，方程3x²+mx-2=0總有兩個不相等的實數根，
∴無論m為任何實數，拋物線與x軸總有兩個交點；

（2）解：方程3x²+mx-2=0中，a=3，b=-m，c=-2，
x=

-b± b2-4ac

2a

=

-m± m2+24

6

，
∵兩個有理根在-1與

4

3

之間，
∴

-m- m2+24 6 ＞-1① -m+ m2+24 6 ＜ 4 3 ②

，
由不等式①得，m+

m2+24

＜6，

m2+24

＜6-m，
兩邊平方得，m²+24＜36-12m+m²，
解得m＜1，
由不等式②得，-m+

m2+24

＜8，

m2+24

＜8+m，
兩邊平方得，m²+24＜64+16m+m²，
解得m＞-

5

2

，
∴不等式組的解集是-

5

2

＜m＜，
∵m為整數，
∴m=-2、-1、0，
又∵方程的根是有理數根，
∵m²+24是完全平方式，
∴m=-1；

（3）解：m=-1時，拋物線為y=3x²-x-2，
∵-

b

2a

=-

-1

2×3

=

1

6

，

4ac-b2

4a

=

4×3×(-2)-(-1)2

4×3

=-

25

12

，
∴原拋物線的頂點坐標為（

1

6

，-

25

12

），
沿x軸翻折后頂點的對應點的坐標為（

1

6

，

25

12

），
∵3-

25

12

=

11

12

，3-0=3，
∴

11

12

＜n＜3．
故答案為：

11

12

＜n＜3．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要利用了根的判別式與根的情況，不等式的求解，平移變換，（2）難點在于整理為關于m的一元一次不等式，（3）關鍵在于求出原拋物線的頂點坐標．