Question

【題目】已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按圖1擺放，（點C與E點重合），點B、C、E、F始終在同一條直線上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10，如圖2，△DEF從圖1出發，以每秒1個單位的速度沿CB向△ABC勻速運動，同時，點P從A出發，沿AB以每秒1個單位向點B勻速移動，AC與△DEF的直角邊相交于Q，當P到達終點B時，△DEF同時停止運動，連接PQ，設移動的時間為t（s）．解答下列問題：

(1)△DEF在平移的過程中，當點D在Rt△ABC的邊AC上時，求t的值；

(2)在移動過程中，是否存在△APQ為等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.

(3)在移動過程中，當0＜t≤5時，連接PE，是否存在△PQE為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)t=5;(2)見解析;(3)見解析.

【解析】

(1)根據等腰三角形性質求出即可；(2)①AP=AQ，求出即可；②AP=PQ，作PH⊥AC于H，根據相似得出比例式，即可求出答案；③AQ=PQ，作PH⊥AC于H，根據相似得出比例式，④當5≤t≤10時，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，利用相似與勾股定理，即可求出答案；(3)分為三種情況，①∠PQE=90°，②∠PEQ=90°，③∠EPQ=90°，根據勾股定理得出方程，求出方程的解，看是否滿足小于10即可．

(1)當D在AC上時，

∵DE=DF，

∴EC=CF=EF=5，

∴t=5．

(2)存在．

∵AP=t，∠EDF=90°，∠DEF=45°，

∴∠CQE=45°=∠DEF，

∴CQ=CE=t，

AQ=8﹣t，

當0≤t＜5時，

①AP=AQ，

t=8﹣t，

∴t=4；

②AP=PQ，

作PH⊥AC于H，

AH=HQ=AQ=4﹣t，

∵PH∥BC，

∴△APH∽△ABC，

∴，

∴，

∴t=；

③AQ=PQ，

作QI⊥AB于I，

AI=PI=AP=t（等腰三角形的性質三線合一），

∵∠AIQ=∠ACB=90°，∠A=∠A，

∴△AIQ∽△ACB，

∴，

∴，

∴t=，

④當5≤t≤10時，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，連接PQ，

同理可求出：

FC=QC=10﹣t，BP=10﹣t，

PH=（10﹣t）=8﹣t，

BH=（10﹣t）=6﹣t，

QG=QC﹣GC=QC﹣PH=10﹣t﹣（8﹣t）=2﹣，

PG=HC=6﹣（6﹣t）=t，

PQ=AQ=8﹣（10﹣t）=t﹣2，

∴PQ 2=PG 2+QG 2，

（t﹣2）2=（t） 2+（2﹣） 2，

解得：t=秒，

其它情況不符合要求，

綜合上述：當t等于4秒、秒、秒、秒時△APQ是等腰三角形．

(3)作PW⊥AC于W，PH⊥BC于H，

由勾股定理：CE=CQ=t，

∵sinA===，cosA===，

∴PW=t，AW=t，

∴QW=8﹣t﹣t=8﹣t，

∴PQ2=PM2+QW2=（t）2+（8﹣t）2=t2﹣t+64，

PE2=PH2+EH2=（t+8﹣t）2+（t﹣t）2=t2﹣t+64，

QE2=2t2

①∠PQE=90°，

在Rt△PEQ中

PQ2+QE2=PE2，

即t2﹣t+64+2t2=t2﹣t+64，

解得：t1=0（舍去），t2=；

②∠PEQ=90°，

PE2+EQ2=PQ2

即t2﹣t+64+2t2=t2﹣t+64，

解得：t1=0（舍去），t2=20（舍去）

∴此時不存在；

③當∠EPQ=90°時

PQ2+PE2=EQ2，

即t2﹣t+64+t2﹣t+64=2t2，

t1=（舍去），t2=4，

綜合上述：當t=或t=4時，△PQE是直角三角形．